LẠI BÀN VỀ CÁC PHỔ NGUYÊN TỬ
Như ta đã nói trên đây bài toán các phổ nguyên tử đã có lời giải mang tính nguyên tắc trong mẫu nguyên tử kiểu hành tinh do Rutherford - Bohr đưa ra (xem phần ''Sự ra đời các khái niệm lượng tử''). Bohr đã nêu tiên đề rằng electron khi chuyển từ một quỹ đạo này sang một quỹ đạo khác sẽ bức xạ ánh sáng. Tần số của ánh sáng này được cho bằng công thức:
v = (1/h)(Ei - Ef)
Nhưng giá trị năng lượng không hoàn toàn xác định quỹ đạo. Với cùng một giá trị năng lượng electron có thể có những giá trị mômen xung lượng (mômen động lượng) khác nhau, và điều đó được biểu hiện ở sự thay đổi hình dạng quỹ đạo (tròn hay ellip): Ngay từ đầu Bohr đã giải hích rằng mômen xung lượng chỉ nhận những giá trị gián đoạn.
Arnold Sommerfeld đã đưa ra ý tưởng lượng tử hoá không gian mômen xung lượng: vectơ mômen chỉ được phép nhận các giá trị nào đó và chỉ được nhận một hướng. Nói đúng hơn bình phương mômen chỉ có thể bằng 
. (n + l ), với l là một số nguyên (nằm trong khoảng từ 0 đến n - l), còn hình chiếu của vectơ mômen trên một trục nào đó chỉ bằng 
với m là một số nguyên (nằm trong khoảng từ -l đến +l). Nói tóm lại quỹ đạo của các electron trong nguyên tử được phân loại bằng ba số nguyên (các số lượng tử n), l và m, ở đây n là số lượng tử chính, l là số lượng tử quỹ đạo, còn m là số lượng tử từ.
Có chữ ''từ'' trong định nghĩa số lượng tử m vì nó đặc trưng cho độ lớn của từ trường được sinh ra khi electron quay chung quanh hạt nhân.
Có bao nhiêu electron có quyền cùng một lúc nằm ở trên cùng một quỹ đạo? Wolfgang Pauli đã trả lời trọn vẹn câu hỏi này năm 1825. Ông đã phát biểu nguyên lý cấm nổi tiếng: trên mỗi quỹ đạo nguyên tử có thể có không quá hai electron. Do đó, để phân loại đầy đủ các trạng thái được phép của các electron trong nguyên tử, ngoài các số lượng tử n, l và m còn phải có thêm một số lượng tử nữa nhận một trong hai giá trị khả dĩ. Số lượng tử này của electron được người ta lấy là ms với hai giá trị -1/2 và + 1/2. Cũng vào năm 1925 này một người Hà Lan tên là Ralph Tronig (sinh năm 1904) và độc lập với ông hai nhà vật lý Mỹ là George Uhlenbeck (1900 - l988) và Samuel Goudsmit (1902 -1979) đã giả thuyết rằng electron còn quay quanh trục riêng của nó. Mômen xung lượng nội tại gắn với phép quay này được gọi là spin (từ tiếng Anh spin nghĩa là ''quay''), còn mômen gắn với phép quay chung quanh hạt nhân được gọi là mômen quĩ đạo. Giá trị của spin electron là /21 còn các hình chiếu khả dĩ của nó trên một trục đã được chọn bằng 
, nghĩa là 
/2 hay 
.
CÔNG CỤ TOÁN HỌC CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Kinh nghiệm phát triển vật lý cho thấy rằng chỉ khám phá ra các định luật giải thích các định luật này một cách thích hợp bằng ngôn ngữ toán học chính xác và tiện lợi cho việc sử dụng. Phải mất hàng thế kỷ sau Newton nhà toán học người Pháp Joseph Lagrange mới làm cho cơ học cổ điển có dạng giúp ta giải quyết được nhiều bài toán theo một thuật tính thống nhất. Lại phải mất 50 năm nữa một người Ailen là William Hamiton và một người Đức là Karl Jacobi mới làm cho ngôn ngữ toán của cơ học Newton trở nên hoàn thiện.
Với cơ học lượng tử cũng diễn ra như thế, chỉ có điều nó diễn ra nhanh hơn nhiều. Chỉ năm năm sau khi xuất hiện công trình đầu tiên của Wemer Helsenberg đã thấy công bố cuốn sách của Paul Dirac “Các nguyên lý của cơ học lượng tử” (năm 1930). Dirac đã trình bày cơ học lượng tử dưới dạng hết sức đẹp đẽ theo quan điểm toán học. Thay cho hàm số sóng của Schrõdinger, ông đã dùng các vectơ trạng thái 
là các vectơ trong một không gian nhiều chiều, mà thường là đến vô hạn chiều. Vectơ trạng thái chứa đựng toàn bộ thông tin mà ta có thể thu được về một hệ lượng tử đã cho. Một đại lượng vật lý A bất kỳ, được đo đối với hệ đã cho (trong lý thuyết lượng tử người ta gọi nó là đại lượng quan sát được) đều ứng với một toán tử Â tác dụng lên các vectơ trạng thái. Thông thường, phép đo cho ta các kết quả khác nhau với các xác suất khác tác dụng lên nó sẽ dẫn đến việc nhân vectơ này với một số:
Phép đo đại lượng A ở trạng thái này luôn luôn cho kết quả là a. Nếu như vectơ 
không phải là vectơ riêng của  thì nó luôn có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng:
thêm vào đó 
Lúc đó, nếu đo đại lượng A, xác suất để nhận được giá trị bằng ai là 
.
Cần lưu ý rằng điều khẳng định này là hệ quả của nguyên lý chồng chập quan trọng nhất trong lý thuyết lượng tử, nó nói rằng: Nếu 
và 
là các trạng thái khả dĩ của hệ lượng tử đã cho thì bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của chúng, 
cũng là một trạng thái khả dĩ của hệ.
Thật dễ hiểu là hai đại lượng A và B có các giá trị hoàn toàn xác định ở trạng thái chỉ trong trường hợp nếu là vectơ riêng đối với mỗi một trong các toán tử Â và 
, rằng đến lượt mình, điều đó chỉ xảy ra khi  và giao hoán với nhau, nghĩa là Â= Â. Do vậy khái niệm về một bộ đầy đủ các đại lượng quan sát được có ý nghĩa quan trọng. Điều đó ngụ ý nói rằng bộ các đại lượng vật lý (và các toán tử tương ứng), mà chúng có thể được đo chính xác đồng thời, và do vậy sẽ nhận được các số lượng tử, cho ta vectơ trạng thái một cách đơn trị. Mặt khác, nếu cho trước các số lượng tử, thì trạng thái (vectơ trạng thái) của hệ lượng tử cũng được xác định đơn trị.
Lý thuyết các phép biển đổi Dirac-Jordan liên quan đến các bộ đủ các đại lượng quan sát được. Vì có thể có vô số các bộ đủ, mỗi một bộ trong chúng đều mô tả trạng thái của hệ lượng tử, cho nên mọi cách mô tả như thế đều phải tương đương với nhau - đó là nội dung của lý thuyết Dirac-Jordan.
Song như thế vẫn chưa hết. Trong lý thuyết Schrodinger chỉ các vectơ trạng thái là phụ thuộc vào thời gian còn trong lý thuyết Heisenberg lại chỉ các toán tử là phụ thuộc thời gian. Lý thuyết các phép biến đổi cho phép chuyển từ một bức tranh lượng tử này sang một bức tranh lượng tử khác, nghĩa là chuyển sự phụ thuộc vào thời gian từ các đại lượng này sang đại lượng khác. Hơn nữa, có thể có các phương án trung gian, khi mà chỉ một phần các vectơ trạng thái phụ thuộc thời gian, còn một phần thì lại là các toán tử phụ thuộc thời gian. Đương nhiên, trong mọi trường hợp ta phải thu được các kết quả giống nhau, còn việc dùng phương án nào thuận tiện hơn thì tùy thuộc bài toán cụ thể.
Cuốn sách “Các cơ sở toán học của cơ học lượng tử” của John von Neumann được công bố vào năm 1932. Nhà toán học này đã đem đến cho vật lý lượng tử một ngôn ngữ toán học thích hợp là không gian Hilbert trừu tượng, ở đó tất cả các định luật lượng các định luật Newton trong các không gian Euclid. Ngoài ra, trong cuốn sách của mình von Neumann đã phân tích quá trình đo trong lý thuyết lượng tử. Vấn đề là, một mặt có thể xem quá trình đó như là sự tương tác giữa hệ lượng tử (hạt) và hệ cổ điển (dụng cụ đo), và mặt khác có thể xem cả hai hệ là một hệ lượng tử thống nhất mà các thông số của nó, đến lượt mình, lại được xác định nhờ một dụng cụ đo khác. Von Neumann đã chứng minh được rằng hai cách tiếp cận này không mâu thuẫn với nhau, bằng cách đó xác nhận một lần nữa cách giải thích của phái Copenhagen về lý thuyết lượng tử là đúng.
ARNOLD SOMMERFELD. “CẤU TẠO NGUYÊN TỬ VÀ CÁC PHỔ”
Cũng như tất cả các cuốn sách có trong kho tàng quý giá của vật lý, chuyên khảo gồm hai tập ''Cấu tạo nguyên tử và các phổ'' được nhà vật lý và toán học Đức Arnold Johann Wilhelm Sommerfeld (1868 - 1951) viết năm 1917 là một cuốn sách độc đáo vô tiền khoáng hậu và để lại một dấu ấn về cá tính đặc biệt của tác giả. Sommerfeld nắm vững công cụ toán học đến mức điêu luyện. Khi bắt tay nghiên cứu một vấn đề vật lý, ông đưa nó về bài toán toán học, giải nó, sau đó giải thích nó bằng ngôn ngữ vật lý.
''Cấu tạo nguyên tử và các phổ'' là một chuyên khảo thuộc loại đặc biệt. Nó chứa đựng những thông tin hiếm có từ lịch sử cơ học lượng tử (hơn nữa là những thông tin quý giá mà độc giả hiếm có cơ hội biết được ''nó đã diễn ra như thế nào'' trực tiếp từ người tham gia vào các sự kiện, và có đóng góp quan trọng vào việc xây dựng môn cơ học lượng tử), cho phép ta nắm được phương pháp giải các bài toán phức tạp, và điều chủ yếu nhất là cho độc giả thấy nhà vật lý lý thuyết hiện đại phải suy nghĩ như thế nào.
Cuốn sách của Sommerfeld đóng vai trò quan trọng trong khoa học, là một trong những công trình đầu tiên về những vấn đề mới nhất vào những năm 20 của thế kỷ XX về cấu tạo nguyên tử và phổ. Tác giả đặc biệt chú ý đến những bài toán mà ông có tham gia giải quyết trực tiếp. Sommerfeld rút ra kết luận chi tiết cho các quy luật cơ bản về cấu tạo nguyên tử và phổ trong khuôn khổ của lý thuyết Bohr, của cơ học cổ điển và cơ học lượng tử, đề cập đến cấu trúc tinh tế của các phổ nguyên tử, đến lý thuyết tương đối tính của các phổ Rôntgen, đến lý thuyết quang điện và nhiều vấn đề khác. Tác giả báo cho độc giả về tất cả những chỗ phức tạp trong các lập luận; về các nghịch lý xuất hiện và đã được giải quyết trong quá trình tính toán; nói về các thí nghiệm đã dẫn tới cách đặt vấn đề bài toán và xác nhận tính đúng đắn của các giả thuyết lý thuyết.
Chuyên khảo của Sommerfeld từ lâu đã trở nên kinh điển và đến nay vẫn giữ nguyên giá trị của nó. Những ai đã có những kiến thức sơ bộ của cơ học lượng tử, sẽ tìm thấy ở đây nhiều điều bổ ích và quý giá cho việc học của mình.
WOLFGANG PAULI
Tính đến năm 1960 ông sẽ tròn 60 tuổi. Các nhà vật lý bắt tay vào chuẩn bị tổ chức kỷ niệm ngày sinh của ông. Theo truyền thống tốt đẹp, họ tập hợp các công trình của ông thành một tuyển tập để tỏ lòng tôn kính một người thầy được thừa nhận, người đã trở thành lương tâm của vật lý, nhà phê bình gay gắt và sắc sảo. Tuyển tập được đặt tên là ''Vật lý lý thuyết thế kỷ XX'', cái tên đó cho thấy mức độ rộng lớn đến nhường nào trong các công trình nghiên cứu khoa học của ông. Tiếc thay, khi tuyển tập ra đời thì ông đã mất, không kịp dự lễ kỷ niệm 60 năm ngày sinh của mình.
Wolfgang Pauli con (1900-1958) sinh ra ở Vienna. Cha ông Wolfgang Joseph Pauli là giáo sư hoá lý trường đại học tổng hợp Vienna. Mẹ ông bà Bertha Pauli (nguyên họ là Schutz) - là nhà văn. Cha đỡ đầu của ông là nhà vật lý và triết học nổi tiếng Ernst Mach. Bầu không khí đầy tính nhân văn trong ngôi nhà, sự hoà quyện của những mối quan tâm về khoa học tự nhiên, về nghệ thuật và triết học của những thành viên lớn tuổi trong gia đình đã ảnh hưởng tốt tới sự hình thành nhân cách của chú bé Pauli.
Ở trường trung học Wolfgang học hành không được chăm chú lắm. Tuy nhiên khả năng về toán - lý của cậu đã thể hiện rất sớm và rất khác thường. Cậu tự học giải tích toán theo cuốn ''Nhập môn giải tích các đại lượng vô cùng bé'' của L. Euler, một cuốn sách rất khó đối với người mới bắt đầu, và cuốn ''Sách giáo khoa sơ cấp về giải tích đại số và phép tính các đại lượng vô cùng bé'' của E. Cesaro. Nhìn tổng thể những giờ tự học của Pauli đều có kết quả. Chí ít thì những kiến thức mà ông cậu thu nhận được ở ngoài bốn bức tường của trường trung học đủ để một cậu bé 15 tuổi có thể đọc được công trình của A. Einstein về lý thuyết tương đối tổng quát và tìm hiểu được nó. Không do dự Pauli đã chọn đường đi cho mình trong cuộc đời, và vào các năm 1918 - 1921 ông đã nghiên cứu vật lý ở trường đại học Munich dưới sự lãnh đạo của giáo sư A.Sommerfeld, một thà vật lý lý thuyết nổi tiếng, người sáng lập trường phái vật lý lý thuyết Munich nổi tiếng (trong số các học trò của ông có không ít những tên tuổi danh tiếng như H.Bethe; G. Wentzel; V.Gaitler; W. Heisenberg; P. Debye; W.Kossel; O. Laport; G. Froelich; P. Ewald; và những người khác). Một năm trước khi tốt nghiệp đại học Pauli đã viết xong luận án tiến sĩ.
Vào cuối thế kỷ XIX, Felix Klein (1849-1925) đã bắt tay vào việc soạn cuốn ''Bách khoa toàn thư các khoa toán học''(1898-1934) có sự tham gia của các nhà bác học xuất sắc nhất của Đức (ngoại lệ duy nhất là viện sĩ hàn lâm Nga A. N. Krylov, một chuyên gia trong lĩnh vực đóng tàu). Einstein đã hứa viết về lý thuyết tương đối, nhưng do bận làm việc gì đó ông đã nhờ Sommerfeld giúp đỡ. Kết quả là công trình dày 200 trang đã được in thành một cuốn sách riêng, tác giả là Pauli, đã bộc lộ rõ một khối kiến thức uyên bác và nắm chắc vấn đề. Công trình đồ sộ này được đánh giá cao, được Einstein khen ngợi, và là cơ sở tạo ra cho Pauli một uy tín bất di bất dịch trong các vấn đề vật lý.
Sau khi bảo vệ luận án Pauli đã làm việc một thời gian với Max Born ở Gottirlgen và là trợ lý ở Viện vật lý lý thuyết Coperthagen bên cạnh Niels Bohr. Năm 1928 ông trở thành giáo sư vật lý trường đại học bách khoa Liên bang ở Zurich, Thuỵ Sĩ (nơi mà trước đây Einstein đã tốt nghiệp). Niên học 1935 -1936 Pauli đã làm việc tại Viện nghiên cứu cơ bản Princeton (Mỹ).
Trong thời gian Đại chiến thế giới lần thứ hai, ông sống ở Hoa Kỳ, mà trên danh nghĩa vẫn là giáo sư trường đại học bách khoa ở Zurich. Từ 1946 đến cuối đời, ông làm việc tại thành phố này, đôi khi có sang Hoa Kỳ.
Năm 1925 Pauli phát biểu và công bố nguyên lý cấm. Vào những năm 20 các nhà vật lý thường tư duy theo thuật ngữ quỹ đạo nên nguyên lý cấm mới đầu được phát biểu như sau: Không một quỹ đạo nào có thể có hai electron giống nhau chiếm giữ.
Theo nhận xét của những người có dịp được nghe ông giảng bài thì Pauli là một diễn giả xoàng. Thế nhưng ông lại diễn giải các ý tưởng của mình hết sức sáng sủa và có sức thuyết phục trong các cuộc nói chuyện riêng và trong các bức thư gửi đồng nghiệp.
Cụ thể trong bức thư gửi ''Các quý ông và quý bà phóng xạ'' (ý nói giới các nhà nghiên cứu tính phóng xạ của hạt nhân nguyên tử) vào năm 1930 Pauli đã ước đoán rằng mang phần năng lượng ''thiếu hụt'' trong phân rã ít có thể là một hạt chưa biết và chưa nắm bắt được nào đó. Enrico Fermi chộp ngay ý tưởng này và gọi hạt chưa biết này là ''hạt nơtron nhỏ xíu, hay hạt nơtron tí hon'' (theo tiếng Italia là ''neutrino'' tức nơtrinô).
Pauli đã nêu ra không ít ý tưởng rõ ràng và bổ ích làm phong phú thêm ngành vật lý các hạt cơ bản. Năm 1940 ông đã chứng minh định lý về mối quan hệ giữa spin và thống kê, năm 1941 ông thiết lập được sự phụ thuộc giữa sự bảo toàn điện tích và tính bất biến đối với các phép biến đổi định cỡ định xứ, năm 1955 phát biểu định lý quan trọng CPT, phản ánh các tính chất đối xứng của các hạt cơ bản đối với phép liên hợp điện tích C, phép đảo ngược không gian P và quay ngược thời gian T. Là nhà lý thuyết xuất sắc song ông lại hoàn toàn bất lực trong mọi vấn đề có liên quan đến thực nghiệm. Để trêu chọc ông các nhà vật lý đã đàm tiếu về cái gọi là ''hiệu ứng Pauli'': hễ ông xuất hiện trong phòng thí nghiệm là y như rằng có một máy móc thiết bị nào đó ngừng hoạt động, một cái gì đó đổ vỡ hay nổ tung.
