CÁC LỚP ELECTRON
Các electron có năng lượng giống nhau nghĩa là có giá trị n như nhau ở tất cả các trạng thái làm thành một lớp electron của nguyên tử. Chú ý đến các giá trị khả dĩ của các số lượng tử l, m và ms ta có thể tính được ở mỗi lớp có 2n2 trạng thái. Ở lớp thấp nhất có năng lượng nhỏ nhất (ở đó n = 1) có tất cả 2 trạng thái, ở lớp tiếp theo (ở đó n = 2) có 8 trạng thái, sau đó là 18, 32 v.v... trạng thái. Các lớp lại chia nhỏ thành các vỏ, ở đó các electron có giá trị mômen quỹ đạo như nhau; vỏ có n và l xác định có 2(2l +1) trạng thái electron. Ví dụ ở lớp 2 electron chỉ có một vỏ, ở lớp 8 electron có 2 vỏ: một vỏ có 2 electron một vỏ có 6 trạng thái; ở lớp 18 electron có 3 vỏ với 1, 6 và 10 trạng thái v.v...
Trong một số bài toán, dùng các đại lượng thuộc về các electron riêng rẽ thuận lợi hơn, còn trong một số bài toán khác dùng các đại lượng thuộc toàn nguyên tử lại thuận lợi hơn
Sơ đồ này cho phép ta hiểu được phần nào cấu trúc của các nguyên tử có nhiều điện tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố. Ta hãy xét xem sơ đồ này hoạt động như thế nào. Hãy tước bỏ của nguyên tử tất cả các electron của nó để chỉ còn lại một hạt nhân trần trụi. Để hiểu các lớp electron được làm đầy như thế nào, ta sẽ lắp ráp từng electron một khi chưa đưa được tất cả chúng trở về nguyên tử. Hai electron đầu tiên lấp đầy lớp thấp nhất (theo mức năng lượng) với n = l: chu kỳ I của bảng tuần hoàn Mendeleev có hai nguyên tố. Sau đó các electron chiếm lớp tiếp theo (n = 2) mới đầu lấp đầy vỏ có I = 0 (các quỹ đạo tròn), rồi sau đó lấp đầy vỏ có I = l (các quỹ đạo được kéo dài ra) chu kỳ II có 8 nguyên tố. Ở chu kỳ III tình hình đã phức tạp thêm: ở nguyên tử có nhiều electron, electron không đơn thuần nằm trong trường Coulomb của hạt nhân nó còn tương tác với các electron khác. Hơn nữa từ trường riêng của electron còn tương tác với từ trường do sự quay của electron quanh hạt nhân gây ra, cũng như với từ trường của chính hạt nhân. Kết quả là mặc dù trạng thái của electron vẫn như trước có thể được đánh số bằng các số I, m và ms, nhưng năng lượng của electron phụ thuộc không chỉ vào n mà còn phụ thuộc vào các số lượng tử còn lại. Kết quả có thể là, trạng thái có n lớn hơn lại có năng lượng nhỏ hơn, và do vậy được electron lấp đầy trước. Điều đó xẩy ra bắt đầu từ lớp với n = 3. Ở lớp này, vỏ với I = 0 được lấp đầy trước, sau đó đến vỏ có l = l và chu kỳ III kết thúc ở đây. Chu kỳ thứ tư được bắt đầu bằng việc lấp đầy vỏ có I = 0 trong lớp n = 4, sau đó mới lại tiếp tục lấp đầy lớp với n = 3, các vỏ có l = 2, v.v. . . cho đến khi các lớp đều được lấp đầy.
Sơ đồ đơn giản hoá này mang nhiều tính ước lệ, song dù sao cũng cho phép ta hiểu được điều cơ bản sau đây: lý thuyết lượng tử đã cho ta cơ sở chính để mô tả các nguyên tử. Nếu tưởng tượng ta có một máy tính cực kỳ phức tạp có công suất tính toán vô cùng lớn thì nhờ máy tính này và dùng các phương trình của lý thuyết lượng tử ta có thể tính được tất cả các đặc trưng của các nguyên tử của một nguyên tố bất kỳ với một độ chính xác mong muốn. Trong thực tế, không có các tính toán định lượng như thế nên ta phải bằng lòng với các dữ liệu mang tính kinh nghiệm luận. Quan niệm nguyên tử như một hệ thống nhất chứ không
phải là một tập hợp các electron riêng lẻ và hạt nhân là điều rất có tác dụng. Trước hết, ở đây có thể đưa ra được một số khái niệm: mômen quỹ đạo tổng cộng của các electron trong nguyên tử là tổng vectơ của các mômen quỹ đạo riêng lẻ (giá trị của nó là L, hình chiếu của nó trên một trục là M) và spin tổng cộng, nghĩa là tổng vectơ của các mômen quay riêng của các electron(giá trị của nó là S, hình chiếu của nó trên một trục là Ms). Trạng thái của nguyên tử được mô tả bằng bốn lượng tử L, M, S, Ms ( nhưng khác với trạng thái của electron trong nguyên tử, không được mô tả chỉ bởi các số lượng tử này).
Như vậy, năng lượng của nguyên tử phụ thuộc cả vào số lượng tử chín lẫn các số lượng tử còn lại. Phụ thuộc vào số lượng tử chính được thể hiện ở cấu trúc của các phổ nguyên tử. Chẳng hạn, chuyển dời electron từ trạng thái với một giá trị cụ thể sang trạng thái có năng lượng thấp nhất theo công thúc hv = Ei - Ef đưa đến sự bức xạ một photon có năng lượng hoàn toàn xác định, nghĩa là cho một vạch phổ duy nhất. Nhưng vì trạng thái xuất phát của nguyên tử có thể có các giá trị khác nhau của các mômen quỹ đạo và hình chiếu của chúng trên một trục chọn trước nên khi số các giá trị này tăng mạnh, thì thay vì một vạch phổ ta sẽ nhìn thấy cả một bộ các vạch phổ - đó là cấu trúc tinh tế của phổ.
Tuy nhiên, ảnh hưởng của mômen tới các mức năng lượng của nguyên tử vẫn chưa được giải thích hết bằng các cấu trúc phổ tinh tế. Ngay từ năm 1896 nhà vật lý Hà Lan Peter Zeeman đã đặt các nguyên tử natri vào một từ trường và quan sát được sự tách của các vạch phổ của kim loại này thành ba thành phần. Hendrik Lorentz, người đồng bào của Zeeman, đã giải thích rằng cơ chế tách loại này là sự tương tác của từ trường ngoài với từ trường của nguyên tử (xem phần ''Hendrik Antoon Lorentz''). Nhưng chỉ có lý thuyết lượng tử mới cho phép làm sáng tỏ tất cả các chi tiết trong hiện trạng tách mức Zeeman.
Tuy nhiên, có thể không phải mọi chuyển dời của electron trong nguyên tử đều dẫn đến sự bức xạ một photon tương ứng (dù sao chăng nữa cũng đưa đến một bức xạ thấy được nào đó). Vấn đề là có các quy tắc lựa chọn được quy định bởi tương tác của các electron với trường điện từ (chúng được mô tả bằng các phương trình Maxwell - Lorentz). Những quy tắc này hạn chế những thay đổi của mômen quỹ đạo và spin của nguyên tử (L và S trong chuyển dời của electron: những chuyển dời nào là được phép còn những chuyển dời nào là không được phép. Thêm vào đó có cả những quy tắc nghiêm ngặt chúng được thực hiện một cách vô điều kiện và gần đúng khi electron chuyển dời có bức xạ là khả dĩ, nhưng cường độ của bức xạ phát ra yếu hơn các chuyển dời được phép nhiều lần.
SPIN VÀ TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA CÁC HẠT
Chúng ta bắt đầu câu chuyện về spin của electron bằng chữ ''không''. Electron không tự quay quanh trục của mình, electron không có và không thể có trục; electron thực tế là một điểm toán học, và mọi ý đồ muốn hình dung nó dưới dạng có cấu trúc quảng tính (như một quả cầu nào đó) thế nào cũng đều dẫn đến mâu thuẫn. Vậy thì spin là gì ?
Trước hết, ta hãy làm sáng tỏ mômen quỹ đạo là gì. Như đã nói trên đây, trong lý thuyết lượng tử, thay cho các đại lượng cổ điển người ta dùng các toán tử. Do đó, ba thành phần của vectơ mômen xung lượng ứng với ba toán tử. Tuy nhiên các toán tử này không giao hoán với nhau, do vậy không thể đo được đồng thời các giá trị của chúng (mặc dù bất kỳ một giá trị nào trong chúng đều có thể xác định đồng thời với bình phương mômen). Các hệ thức giao hoán của các thành phần mômen có dạng cụ thể, song điều đó ở đây không quan trọng. Quan trọng là điều sau đây: ngoài các toạ độ thông thường và xung lượng electron còn được đặc trưng bởi vectơ spin, nghĩa là bằng một toán tử ba thành phần S mà các thành phần của nó tuân theo cùng các hệ thức giao hoán như các thành phần của mômen quỹ đạo. Chỉ trong ý nghĩa này spin mới được phép gọi là mômen xung lượng trong, chứ electron không chịu bất kỳ một phép quay riêng nào. Spin, giống như điện tích là một đặc trưng nội tại của electron. Hơn nữa, trong giới hạn cổ điển, khái niệm mômen quỹ đạo vẫn còn lại, còn khái niệm spin thì biến mất. Không thể có khái niệm tương tự của spin trong lý thuyết cổ điển!
Và đó cũng không phải là điều bất ngờ duy nhất do spin tạo ra. Nguyên lý cấm được Pauli nêu ra, năm 1925, mới đầu cũng chỉ như một tiên đề nhân tạo nào đó được biện hộ bằng việc lý giải dữ liệu thực nghiệm. Nhưng rồi người ta hiểu ra rằng nó chính là một trong những biểu hiện của nguyên lý về tính đồng nhất của các hạt mà khi áp dụng cho các electron thì có nghĩa là: tất cả các electron trong Vũ trụ là tuyệt đối không phân biệt được với nhau. Không thể đánh số cho chúng để sau này khi phát hiện được một electron ở một điểm nào đó ta nói: đó là electron thứ 8 chẳng hạn. Hơn nữa, bản thân việc đặt ra một vấn đề kiểu như vậy trong lý thuyết lượng tử là không có ý nghĩa. Ta chỉ có thể nghiên cứu được các electron trong vũ trụ theo từng electron riêng lẻ. Dĩ nhiên, cho dù nếu như một nguyên tử nằm ở ngôi sao điện Kremlin ở Moskva, còn nguyên tử thứ hai thì nằm ở chiếc chuông của tháp đồng hồ Big - Ben ở Luân Đôn thì vẫn có thể xem xét riêng lẻ các vỏ electron của các nguyên tử này, vì xác suất phát hiện tại Moskva một electron của nguyên tử ở Luân Đôn là quá bé (tuy xác suất này vẫn tồn tại!).
Ta biết rằng, bình phương mômen quỹ đạo nhận các giá trị hl(l +1), ở đó l = 0,1,2,..., còn bình phương của spin của electron, của hạt quark, của muon, nơtrino và nhiều hạt cơ bản và các hạt hợp thành khác bằng 
s(s + 1), mà s = 1/2 .
Nói chung, một hạt có thể có giá trị S nguyên hay bán nguyên, nghĩa là 1, 2,... hoặc 1/2 , 3/2, 5/2... Ví dụ, đối với các pion s = 0, đối với các photon và gluon s = 1 v.v... Nguyên lý về tính đồng nhất là đúng đối với từng loại hạt (riêng rẽ), tuy các hệ quả cụ thể mà nguyên lý này đem đến thì lại phụ thuộc rất mạnh vào giá trị s. Dưới dạng tổng quát sự phụ thuộc này đã được Pauli phát biểu vào năm 1940. Dưới dạng đơn giản hoá, định lý Panli nói rằng: đối với các hạt có spin bán nguyên nguyên lý cấm được thoả mãn (trên mỗi quỹ đạo không thể có nhiều hơn 2s + 1 hạt), còn với các hạt có spin nguyên thì nguyên lý cấm không đúng (trên một quỹ đạo có thể có một số hạt bất kỳ, (xem mục phụ ''Vườn bách thú các hạt cơ bản'', Phần 3, chương 1).
