KHÍ LÝ TƯỞNG LƯỢNG TỬ
Khái niệm khí lượng tử sinh ra vào những năm 20 của thế kỷ XX, sau khi thiết lập được các đặc tính lượng tử của vật chất và bức xạ. Khác với khí lý tưởng cổ điển, trong khí lượng tử không tài nào thoát khỏi sự tương tác động học hay tương tác trao đổi. Nguyên nhân là do tính hằng đẳng giữa các vi hạt - một nguyên lý lượng tử.
Nói một cách chặt chẽ, các nguyên tử và phân tử của chất khí thông thường cũng là các đối tượng lượng tử vì thế vấn đề có tính nguyên tắc là: trong các trường hợp nào chất khí gồm các vi hạt cần xem là khí lượng tử và trong điều kiện nào thì có thể xem như khí cổ điển? Tiêu chuẩn hợp lý là dựa trên một điều rằng các tính chất lượng tử của chất khí trở nên quan trọng chỉ khi có sự bao phủ lẫn nhau của các hàm sóng của những hạt cá biệt, chất khí như thế được gọi là suy biến, trong khi các khí thông thường là không suy biến.
Tiêu chuẩn không suy biến, về định tính có thể đánh giá theo điều kiện: nVlt << 1, tức mật độ hạt n = N/V rất nhỏ so với 1/Vlt, với Vlt ~ 
là thể tích lượng tử, còn 
là bước sóng ''nhiệt'' de Broglie. 
được hiểu là giá trị trung bình (nhiệt) của xung lượng của hạt. Động năng trung bình của hạt:
khi đó 
với m là khối lượng của hạt, k là hằng số Boltzmann. Từ đó:
Kết quả là tiêu chuẩn không suy biến của chất khí có dạng:
hay T>>T0
ở đó nhiệt độ suy biến To được quy định bởi khối lượng của hạt và mật độ của chúng:
Đối với các nguyên tử đủ nặng của heli đồng vị 
đại lượng T0 
3K. Còn với chất khí photon (m = 0) ở nhiệt độ bất kỳ nào thì cũng vẫn là khí suy biến (là khí thuần túy lượng tử). Nhiệt độ suy biến đối với các điện tử nhẹ với m = 10-30kg là rất khác nhau tùy thuộc vào mật độ n. Ví dụ trong kim loại (n ~ 1028m-3) giá trị T0 ~ 104K, còn trong chất bán dẫn, n ~ 1025m-3 , T0 ~ 102K; Tương ứng với nhiệt độ phòng (T ~ 300 K) khí electron trong kim loại luôn luôn là lượng tử còn trong bán dẫn nó hoàn toàn có thể xem là khí cổ điển.
Các mô tả khí lượng tử và khí cổ điển có gì khác nhau?
Khác biệt cơ bản là ở sự mô tả trạng thái một hạt: thay vì một giàn các tọa độ và xung lượng (
) người ta dùng một giàn các số lượng tử và năng lượng E của trạng thái lượng tử (để vắn tắt về sau gọi là orbital). Hàm phân bố cổ điển 
người ta thay thế bằng hàm choán đầy orbital n (
) tương ứng với phân bố Gibbs (15). Vì nhân tố này mà sinh ra sự phân
biệt quan trọng giữa các cái gọi là fermion và boson. Trong trường hợp hạt fermion biểu thức số choán đầy 
được viết ở dạng:
với 
là hóa thế (thế hóa học). Hàm số này có tên là phân bố Fermi - Dirac, kỷ niệm Enrico Fermi và Paul Dirac, những người nghiên cứu nó lần đầu tiên vào năm 1926.
Phân bố Fermi - Dirac khác hẳn phân bố cổ điển (nếu như không có nguyên lý loại trừ Pauli, tất thảy các hạt ở T = 0 sẽ lập tức co cụm lại ở một mức năng lượng 
). Ví dụ với khí fermion lý tưởng, khi 
các quỹ đạo bị choán đầy tạo thành cái gọi là hình cầu Fermi (trong không gian xung lượng) với bán kính bằng xung lượng Fermi 
. Điều đó có nghĩa rằng ngay cả khi T = 0 các electron trong kim loại cũng không đứng yên mà vẫn chuyển động với vận tốc cỡ 
Các trạng thái kích thích giản đơn nhất của khí Fermi lượng tử lý tưởng là cặp hạt - lỗ trống. Vì tất cả các quỹ đạo bên trong hình cầu Fermi đã bị chiếm (choán đầy, một hạt nào đó (khi T > 0) chỉ có một khả năng duy nhất thay đổi trạng thái của mình - là nhảy từ trong hình cầu Fermi choán đầy (
) ra phía ngoài (). Kết quả là phía ngoài hình cầu Fermi xuất hiện một ''hạt'', còn bên trong hình cầu ấy xuất hiện một lỗ trống (một quỹ đạo bị bỏ chỗ), tức là hình thành một cặp: hạt với xung lượng p' > pF và lỗ trống với xung lượng p' < pF.
Điều thú vị là các hàm phân bố đối với fermion và boson khác nhau chỉ một cái dấu trước số 1 ở mẫu số. Biểu thức:
được gọi là hàm phân bố Bose -Einstein, do Satyendranath Bose và Albert Einstein thu được đầu tiên vào năm 1924.
Tính chất đặc trung hơn cả của phân bố Fermi – Dirac là như sau: ở nhiệt độ rất thấp (T-> 0), nó có hình bậc thang (hình a): tất cả quỹ đạo với năng lượng 
đều bị chiếm (
) trong khi quỹ đạo với năng lượng 
đều trống (
). Giá trị giới hạn 
có tên là ‘năng lượng Fermi (hình c). Khi T >0 bậc thang phân bố Fermi bắt đầu bị nhòe ra (hình b), nhưng diện tích dưới đường cong vẫn giữ nguyên không thay đổi.
Tính chất đáng chú ý của phân bố Bose - Einstein chính là sự kết tụ Bose. khi T 
0, tất thảy các hạt không loại trừ hạt nào đều ''tập trung'' về cùng một trạng thái với = 0. Khi T > 0 khối kết tụ Bose bắt đầu bị kích thích, và hàm phân bố mới trải rộng dần ra, song diện tích dưới đường cong phân bố không bị thay đổi. Mặc dù có sự bứt khỏi không kết tụ của những hạt riêng lẻ nào có năng lượng p2/2m khác không, trong khối kết tụ vẫn còn số đông hạt có xung bằng không, không tham gia vào chuyển động nhiệt. Chỉ khi nào đạt được nhiệt độ kết tụ Bose Tc ~ To thì kho dự trữ các hạt bất động ấy mới hoàn toàn cạn kiệt và tất cả chúng mới gia nhập vào chuyển động nhiệt.
Các hệ boson và các hệ fermion tồn tại trong tự nhiên thực ra không phải là khí lý tưởng và việc mô tả được chúng là rất phức tạp, còn chưa thể thực hiện đến cùng được. Tuy nhiên các tính chất của hệ lượng tử lý tưởng cũng đã có các ý nghĩa quyết định cho phép ta tìm hiểu được nhiều hiệu ứng lượng tử vĩ mô, như tính siêu chảy của heli lỏng và tính siêu dẫn của hàng loạt chất.
JOSIAH WILLARD GIBBS
Cũng như nhân vật tiểu thuyết ''Gã Yankee từ Connecticut ở cung điện Vua Arthur” của Mark Twain, nhà vật lý lý thuyết Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) một trong những ông tổ của nhiệt động lực hóa học và vật lý thống kê, là một anh chàng Yankee chính cống ở New Haven bang Connecticut, như cách người miền nam Hoa Kỳ vẫn gọi những cư dân Bắc Hoa Kỳ, trong đó có cư dân bang Connecticut.
Tốt nghiệp trường trung học tư thục Hopkins tốt nhất New - Haven, năm 1854 Gibbs vào học Yale College, rồi từ năm 1858 theo học toán học và vật lý thuộc phân hiệu khoa học tự nhiên và khoa học chính xác của Đại học tổng hợp Yale. Sau cái chết của người cha (năm 1861), là người đàn ông lớn nhất trong nhà, Gibbs gánh vác việc chăm sóc 3 người em gái: Julia, Anna và Emily. Ông bảo vệ học vị tiến sĩ năm 1863 với luận án: ''Về hình dạng các bánh răng của hệ truyền bánh răng hình trụ'' và trở thành giảng viên ở Yale College trong ba năm: hai năm dạy tiếng Latinh, năm thứ ba dạy vật lý đại cương. Năm 1866 Gibbs đưa các em Anna và Emily sang Châu Âu tiếp tục học hành. Ở Paris ông dự lớp học của các nhà toán học kiệt xuất Darboux, Duhamel, Liouville, Serret và Challe, làm quen với các công trình của Cauchy, Lagrange, Laplace và Poisson. Mùa hè 1867 ở Berlin ông nghiên cứu các công trình của Hamillton, Gauss, Clebsch và Jacobi về cơ học, của Fresnel và Hamilton về quang học, của K. Neuman và W.Thomson (Huân tước Kelvin) về điện động lực học, còn niên khóa 1868 - 1869 thì ông học ở Heidelberg, nơi đang có các bác học Bunsen, Kirchhoff và Helmholtz giảng dạy.
Từ Châu Âu trở về, Gibbs được nhận một chức vụ danh dự, nhưng không có lương là giáo sư vật lý toán của Đại học tổng hợp Yale. Cùng các em Anna và Emily ông chuyển đến ngôi nhà rộng rãi của Julia đã đi lấy chồng. Thoát khỏi những trách nhiệm giảng dạy vì không ăn lương ông dốc sức cho công việc khoa học độc lập.
Cảnh vật hữu tình ở New Haven tựa hồ dành riêng cho các chuyến du ngoạn, rất hợp cho lao động trí óc. Đóng góp vào công lao khoa học của Gibbs phải kể cả hai thư viện tuyệt vời của Trường đại học và của nhà. Đồng nghiệp và sinh viên rất quý trọng ông, người thân chăm sóc ông, còn gì hơn nữa cho một con người tài năng quyết hiến mình cho khoa học sáng tạo? Và thành quả của sự hòa điệu tuyệt vời giữa tư chất riêng với ngoại cảnh tốt đã mau chóng xuất hiện.
Năng lực nhạy bén với vẻ đẹp và tính phổ dụng của phương pháp đồ thị trong nhiệt động lực học giúp cho Gibbs thảo ra các giản đồ entropi nổi tiếng với entropi làm một trong các tọa độ. Năm 1872 ông trình bày trước Viện hàn lâm khoa học Conneticut công trình đầu tiên của mình ''Các phương pháp đồ thị trong nhiệt động lực học các chất khí và chất lỏng'', chứng minh rất thuyết phục ưu thế của tọa độ entropi - thể tích và entropi - nhiệt độ so với các tọa độ thể tích - áp suất khi xây dựng các giản đồ nhiệt động lực học hai chiều. Vào năm 1873 Gibbs công bố trong ''Bản tin Viện hàn lâm Connedicut'' công trình mới: ''Phương pháp biểu diễn hình học các tính chất nhiệt động lực học của vật chất nhờ các mặt'', ở đó đề xuất việc xây dựng các mặt đưa trên các phương trình trạng thái của chất được nghiên cứu trong toạ độ entropi - thể tích và từ các tính chất hình học của mặt đó suy đoán ra các đặc trưng của vật chất.
Các công trình của Gibbs trở thành nền móng cho phương pháp tiếp cận hình học trong nhiệt động lực học, được Maxwell đánh giá cao: Trong ''Lý thuyết nhiệt'' xuất bản lần thứ 4 (năm 1875) Maxwell viết: ''Vị giáo sư Mỹ J. W. Gibbs có công nghiên cứu tỉ mỉ cách biểu diễn khác nhau mối quan hệ nhiệt động lực bằng các giản đồ trên mặt phẳng, đề ra phương pháp rất thuận tiện cho nghiên cứu tính chất vật chất nhờ các mặt cong''. Ông không chỉ khen ngợi mà còn gửi tặng Gibbs một mô hình mặt nhiệt động lực học của nước trong số vài mô hình ông làm ra. Gibbs giữ gìn mô hình ấy trong phòng làm việc và nếu ai hỏi tác giả mô hình ấy là ai, ông chỉ đáp vắn tắt: ''Một người bạn...''.
Sự nổi tiếng, không chỉ ở Châu Âu, mà cả ở Mỹ đã đến với Gibbs tuy khá muộn, song vẫn như trước kia ông không những giản dị và dửng dưng với vinh quang và sự công nhận, mà vẫn là người làm khoa học khiêm nhường chăm chỉ. Xa lạ với thói phô trương hình thức, ông tránh dự các hội nghị và lễ lạt long trọng. Ông để lại cho đời những phương ngôn độc đáo: ''Cái toàn thể giản đơn hơn cái bộ phận'', ''Toán học là một ngôn ngữ'. ''Nhà toán học thì có thể nói lên điều mình muốn, còn nhà vật lý thì trong chừng mực nào đó phải suy nghĩ tỉnh táo trước đã''.
Các năm 1881 - 1884 Gibbs công bố ''Các cơ sở giải tích vectơ'', còn năm 1889 là công trình về xác định quỹ đạo hành tinh ''theo ba điểm quan sát''. Nhưng đỉnh cao các công trình của Gibbs có thể coi là ''Các nguyên lý cơ bản của cơ học thống kê ứng dụng riêng cho biện luận hợp lý của nhiệt động lực học'' xuất bản năm 1902.
Công trình ấy nhanh chóng được công nhận rộng rãi. Trải qua thời gian dài, tất cả các công trình của Gibbs đều chịu được sự kiểm chứng khắc nghiệt của thời gian, mà không hề bộc lộ một sai sót nào! Các ý tưởng của Gibbs được phát biểu với sự chính xác toán học, ngắn gọn, và có dạng khái quát tối đa, nên đã trở thành nền tảng vật lý lý thuyết hiện đại, được sử dụng thành công cả trong thống kê lượng tử, cả trong nhiệt động lực học các quá trình bất thuận nghịch.
LUDWING BOL TZMANN
Nhà vật lý lý thuyết người áo Ludwig Boltzmann (1844 - 1906) mãi mãi là một con người lãng mạn, cả trong đời sống cả trong khoa học. Ông yêu nhạc Beethoven và lúc rảnh ông chơi hàng giờ (theo chuyển thể của F. List cho đàn piano). Ông yêu thơ của Schiller, và đề tặng trên ''các bài phổ biến khoa học'' của mình (năm 1905): ''Tặng Schiller, bậc thầy tuyệt vời về diễn đạt xác thực các biến cố, với lòng chân thành và cảm phục từ đáy lòng, nhân kỷ niệm một thế kỷ sau khi ông đi vào bất tử”.
Boltzmann từng nói về Schiller: ''Không có Schiller tôi có thể sống, tất nhiên, có mũi, có râu, nhưng đó đâu có là tôi”. Là một người đánh giá tinh tế về cái đẹp, ở tuổi ngoài 70 ông vẫn giữ được khả năng hào hứng chiêm ngưỡng cái đẹp. Có lần trên chuyến đến Mỹ qua Đại Tây Dương ông đã ghi lại những dòng như sau: ''Có lần tôi đã cười khi đọc thấy một họa sĩ nọ miệt mài thức thâu đêm suốt sáng để tìm một cái màu sắc nào đó duy nhất cần cho ông ta; giờ đây tôi không còn dám cười việc ấy nữa. Tôi đã khóc khi nhìn màu sắc của biển. Tại sao màu sắc có thể khiến người ta khóc nhỉ? Hay ánh trăng và mặt biển lấp lánh giữa màn đêm tối như nhựa đường...''
Ông bước vào lịch sử khoa học trước tiên như một người tạo lập lý thuyết động học phân tử chất khí, song ông còn thực hiện nhiều công trình thực nghiệm và lý thuyết quan trọng về cơ học và lý thuyết trường điện từ, để lại cho hậu thế ''các bài giảng về lý thuyết điện và ánh sáng của Maxwell'' (1891 - 1893), ''các bài giảng về nguyên lý cơ học'' (in vào các năm 1897 – 1920).
E.Mach đã gọi Boltzmann là ''nhà thực nghiệm ít ai bằng được''. Khi nghiên cứu các hệ thức giữa chiết suất và độ thẩm điện môi do Maxwell đưa ra, trong công trình thực nghiệm đầu tay của mình Boltzmann đã đo được độ thẩm điện môi của lưu huỳnh, paraphin, không khí, oxy, hyđro, cacbonic. Để thực hiện từ lý thuyết Maxwell một kết luận về sự phụ thuộc độ thẩm điện môi vào hướng chọn trước (trong trường hợp của môi trường dị hướng) ông đã kiểm chứng kết luận trên một quả cầu cắt ra từ tinh thể lưu huỳnh hình thoi. Trong công trình năm 1874 ''Về lý thuyết nhớt đàn hồi'' Boltzmann đã phát triển một công cụ toán học để mô tả hiệu ứng do ông phát minh. Hoàn thiện ''phép tính'' của Boltzmann, nhà toán học Italia Vito Volterra đã thu được các phương trình tích phân và vi tích phân nổi tiếng của lý thuyết đàn hồi.
Trong bài báo ''Rút ra định luật Stephan về sự phụ thuộc bức xạ nhiệt vào nhiệt độ từ lý thuyết điện tử của ánh sáng'' (năm 1884). Boltzmann đã khảo sát định luật bức xạ của vật đen tuyệt đối, xuất phát từ định luật bức xạ Kirchhoff, nguyên lý nhiệt động lực học và lý thuyết áp suất ánh sáng của Maxwell. ''Đó là viên ngọc của vật lý lý thuyết'', theo đánh giá của H. A. Lorentz, cây đại thụ của vật lý lý thuyết. Năm 1897 định luật Stephan - Boltzmann đã được khẳng định bằng thực nghiệm bởi O. Lummer và E. Pringsheim.
Lorentz phát biểu về Boltzmann vào năm 1907 đã ca ngợi tính độc đáo trong cá tính và sáng tạo khoa học: ''Tôi không thể, dù rất muốn, diễn tả thật rõ sự toàn diện đến thế của một con người thông minh, chói lọi và đa tài. Tôi chỉ vài lần may mắn tiếp xúc với ông và tuy với thái độ ân cần không thể quên ông dành cho tôi và sự ngưỡng mộ của tôi khi chuyện trò cùng ông, tôi biết về Boltzmann chủ yếu qua đọc các khảo luận của ông. Quả là trong đó ông đã nói với chúng ta không phải chỉ như một nhà vật lý, mà là bằng tất cả mẫu mực tư duy và cảm thụ của mình ông cởi mở ra cho chúng ta, bằng những lời thống chữ khiến ông thân thiết hơn với chúng ta''.
Suốt 30 năm, kết thúc gần như vào giữa thập kỷ 90 của thế kỷ XIX - là giai đoạn chói lọi nhất trong sáng tạo khoa học của Boltzmann; cũng đúng là ''30 năm chấn động vật lý học''. Đó là thời kỳ mà Boltzmann sáng tạo nên lý thuyết động học phân tử của chất khí, xây dựng nền tảng của cơ học thống kê. Chính xác hơn là như sau: công trình đầu tiên của chàng Boltzmann 22 tuổi đã thử đưa ra sự giải thích cơ học cho nguyên lý hai của nhiệt động lực học, tức vào năm 1866, còn bài báo ''Lý thuyết động học của vật chất'' dành cho ''Bách khoa toàn thư các khoa học toán học'' được viết cùng với I. Nable không lâu trước khi mất.
Các công trình của Boltzmann bao quát phạm vi rất rộng các vấn đề: từ định lý tổng quát của cơ học và liên quan với nó là lý thuyết xác xuất cho đến tính toán tỉ mỉ hệ số nhớt của chất khí. Cũng ở lĩnh vực này có phần đóng góp lớn lao nhất của Boltzmann vào vật lý học: biện luận cho tính bất thuận nghịch của các quá trình nhiệt động lực học và xây dựng nên cơ học thống kê. Trong công trình nổi tiếng ''Nghiên cứu thêm sự cân bằng nhiệt của các phân tử khí (năm 1872) Boltzmann mong muốn chứng minh rằng ''dù cho trạng thái ban đầu của chất khí là thế nào đi nữa, nó nhất thiết phải tiến tới một phân bố giới hạn mà Maxwell đã tìm ra''. Song tiếc là ông chỉ hoàn thành được một phần nhiệm vụ đặt ra, ấy là rút ra được phương trình nổi tiếng của mình và 28 năm sớm hơn so với Planck - ông đã đưa ra khái niệm ''các phần (suất) năng lượng hữu hạn'' được trao đổi giữa các phân tử khi va chạm); ông cũng chứng minh định lý H (với vài giả thuyết hàm số H cần phải là chỉ có giảm do va chạm giữa các hạt, chừng nào chưa chuyển thành hàm phân bố Maxwell. Boltzmann đã trình bày có hệ thống các cơ sở của cơ học thống kê trong “Bài giảng về lý thuyết các chất khí (1897 - 1898)”.
Planck đã hết sức thán phục bởi công thức do Boltzmann đưa ra:
S = k lnW
liên kết entropi S và xác suất trạng thái W, hệ số k ngày nay được gọi là hằng số Boltzmann. Nó được khắc lên tượng đài trên mộ nhà bác học làm bằng đá trắng do nhà điêu khắc Ambrosi tài ba thể hiện. Khi khánh thành tượng đài Walter Tiring, giám đốc Viện vật lý lý thuyết ở Vienna - thành phố quê hương của Boltzmann - đã nói một câu nổi tiếng: ''Công thức ấy sẽ còn nguyên hiệu lực của mình thậm chí cả khi mọi tượng đài bị chôn vùi dưới rác thải hàng ngàn năm''.
Lý thuyết động lực học phân tử các chất khí đã bị chỉ trích gay gắt. Boltzmann hiểu rằng công trình của ông chẳng được ai hiểu cả. Một số công trình ông chỉ có thể, theo lời của chính Boltzmann, nói với Helmholtz, song ông này ở quá xa Vienna, ở tận Berlin. Trong tâm trạng tuyệt vọng Ludwig Boltzmann đã tự kết liễu đời mình.
