DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN TÍNH
Dao động tử tuyến tính (khi không có sự tắt dần thì là điều hòa) là mô hình cơ bản của lý thuyết tuyến tính về dao động. Phương trình chuyển động của nó (theo định luật thứ hai của Newtơn):
(1)
trong đó x là đại lượng, mà dao động của nó được mô tả bằng mô hình (biên độ của sự dịch chuyển của con lắc, dòng điện hay điện áp trong mạch dao động v.v…), 
là “gia tốc” của nó.
Dao động tử phi tuyến là mô hình cơ bản của lý thuyết phi tuyến tính về dao động. Phương trình chuyển động của nó là
(2)
trong đó f(x) là hàm phi tuyến tính chứa ít nhất một số hạng phi tuyến (không phải lũy thừa bậc một của x). Năng lượng toàn phần của hệ không phụ thuộc vào thời gian, tức là hệ bảo toàn.
Ví dụ một hạt thực hiện các dao động không đẳng thời trong hố thế phẳng - một cái hộp với thành cao vô hạn:
Hạt chuyển động với vận tốc không đổi trong hộp tức thì phản xạ một cách đàn hồi ở biên. Động năng của nó là EK = mv2/2, tức là vận tốc 
phụ thuộc vào năng lượng. Chu kỳ dao động của hạt được biểu thị bằng công thức:
(3)
Từ công thức (3) ta thấy chu kỳ dao động giảm (đối với những hệ khác nó có thể tăng) khi năng tượng tăng. Định luật bảo toàn năng lượng E của dao động tử (hệ phi tuyến bảo toàn) có dạng
mv2/2+U(x) = E = const
Hình ảnh pha của dao động tử phi tuyến sẽ cho ta một bức tranh hoàn toàn định tính. Từ định luật bảo toàn năng lương ta có thể dẫn ra phương trình các quỹ đạo trên mặt phẳng pha (x,v) của mô hình:
(4)
Thực vậy, vì năng lượng dao động bảo toàn, cho nên khi có động năng cho trước E tại t = 0 và biết sự phụ thuộc U(x), thì từ phương trình (4) dễ dàng tìm được vận tốc v, và sau đó vẽ các quỹ đạo pha của quá trình. Từ phương trình (4) ta suy ra rằng không tồn tại những sự chuyển động với năng lượng Eo < U(x), vì khi đó đại tượng v trở thành ảo. Ứng với năng lượng ban đầu E2 là sự chuyển động trên các đoạn 0 < x < x02 Và x12 < x < x22 trong đó x02, x12 và x22 được xác định từ điều kiện v= 0, tức là E2 = U(x). Các quỹ đạo pha của chuyển động này được ký hiệu bằng số 2. Các điểm “đỉnh” và các điểm thấp nhất của đường cong U(x) - đó là những trạng thái cân bằng.
Tính chất chuyển động của dao động từ phi tuyến tính phụ thuộc vào năng lượng ban đầu. Các dao động với biên độ nhỏ là dao động điều hòa. Khi năng lượng tăng thì chúng càng ngày càng khác với dao động điều hòa: trong trường hợp chuyển động tuần hoàn thì phần lớn của chu kỳ ứng với các đoạn chậm. Ví dụ khi cho một hòn bi lăn trên máng thì ứng với các khoảng chậm là khi hòn bi lăn lên ở phần trên của dốc và bắt đầu lăn xuống từ đầu dốc. Với năng lượng E3 thì chuyển động của hòn bi không còn là tuần hoàn nữa. Trên mặt phẳng pha thì chuyển động này được mô tả bởi đường cong 3, được gọi là đường cong phân cách; nó phân cách các quỹ đạo tuần hoàn với các quỹ đạo khả dĩ khác.
Và một ví dụ nữa là động thái của electron trong điện trường tuần hoàn của sóng dọc với thế thay đổi theo quy luật 
Nếu ta ''bắn'' electron vào hướng này với vận tốc đủ lớn thì nó sẽ không bị sóng ''bắt giữ'' và sẽ bay dọc theo sóng còn vận tốc của nó sẽ dao động (xem quỹ đạo kiểu 1 trên hình ảnh pha của hệ). Nếu vận tốc ban đầu nhỏ hơn vận tốc tới hạn được xác định từ hệ thức 
thì electron rơi vào hố thế và ở đó nó sẽ thực hiện các dao động (đường cong 2).
LEONID ISAAKOVICH MANDELSTAM
Một bản liệt kê thậm chí chưa đầy đủ các phát minh và các công trình cơ bản của viện sĩ Leonid Isaakovich Mandelstam (1879 - 1944) cũng làm cho người ta phải kinh ngạc bởi tính đa dạng của nó: tán xạ thăng giáng và kết hợp của ánh sáng, lý thuyết về kính hiển vi, các dao động phi tuyến và kỹ thuật vô tuyến, lý thuyết về cộng hưởng, trắc địa vô tuyến, dạng máy phát các sóng điện từ mới - máy tham số. Một sự đòi hỏi cao độ của L. I. Mandelstam đối với các kết quả công việc không cho phép đưa vào danh sách trên một loạt phát minh khác không kém phần quan trọng, ví dụ sự phát hiện bằng thực nghiệm quán tính của các điện tử trong kim loại năm 1912 (vài năm trước các thí nghiệm cổ điển của Stewart và Tolman).
Nhưng đằng sau sự đa dạng của các thành tựu rất gây ấn tượng và sự am hiểu rộng lớn trong sự nghiệp của Mandelstam có một đề tài chính nổi lên rất rõ nét: lý thuyết về dao động. Lần đầu tiên làm quen với lĩnh vực này theo cuốn ''Lý thuyết âm học'' gồm hai tập của Huân tước Rayleigh, Mandelstam đã bị chinh phục bởi sự đẹp đẽ của các ý tưởng của nó và không chỉ một lần phải nhờ đến những ''hiện tượng về dao động'' cho phép tìm thấy sự tương đương giữa các kết quả từ các lĩnh vực khác nhau của vật lý học...
Trong con người của Mandelstam thể hiện sự kết hợp hiếm có của một nhà lý thuyết và nhà thực nghiệm, của một người nghiên cứu và một nhà giáo học. Ông nói có hai loại nhận thức: nhận thức loại thứ nhất là khi con người đọc và hiểu tất cả những gì viết trong sách, có thể dẫn một công thức bất kỳ, nhưng còn chưa có khả năng tự mình trả lời được bất kỳ một câu hỏi nào từ điều đã đọc được; và loại nhận thức thứ hai là khi bức tranh toàn cảnh, tất cả mối liên hệ giữa các ý tưởng, hiện tượng đều rõ ràng. Là nhà tư tưởng sâu sắc và tinh tế, Mandelstam đã đạt được sự nhận thức loại thứ hai toàn bộ vật lý học và đã chia sẻ một cách hào phóng sự hiểu biết của mình với vô số môn đồ (trong số họ có A. A. Andronov, A. A. Vitt, G. S. Gorelic, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, V. V. Migulin, S. M. Rytov, S. P. Strelkov, I. E. Tamm, S. E. Khaikin, S. H. Shubin v.v...) và sinh viên.
Mandelstam sinh ra tại Mogilev trong một gia đình đã cống hiến cho loài người những nhà khoa học, những bác sĩ và những nhà văn. Không lâu sau gia đình ông chuyển về sống ở Odessa. Cho đến 12 tuổi cậu học tại nhà, sau đó ông vào học trường trung học và kết thúc nó với tấm huy chương vàng. Năm 1897 ông vào học ở ban toán thuộc khoa toán lý đại học tổng hợp Novorossisk (ở Odessa). Sau hai năm vì có dính líu đến các phong trào của sinh viên, ông bị đuổi khỏi trường tổng hợp. Theo lời khuyên của cha mẹ Mandelstam đã tới Strasbourg, một trong những trung tâm nghiên cứu vật lý, và ở đó ông đã tiếp tục học tập. Khi đó tại trường đại học tổng hợp Strasbourg đang có mặt nhà toán học Heinrich Weber (học trò của Remann và tác giả của cuốn sách kinh điển ''Các phương tinh vi phân của vật lý toán''), nhà vật lý Ferdinand Braun (kiêm giám đốc Viện vật lý), chủ nhiệm bộ môn vật lý lý thuyết Emile Kohn (tác giả công trình nổi tiếng “Trường điện từ”).
Tài năng khoa học của Mandelstam được phát triển nhờ F. Braun, người đã để cho người học trò có tài hoàn toàn tự do trong công việc. Năm 1902 Mandelstam đã bảo vệ thành công luận án tiến sĩ triết học tự nhiên (tức vật lý) với đề tài ''Xác định chu kỳ phóng điện của tụ điện''. Sau khi tốt nghiệp đại học ban đầu ông làm trợ lý riêng của Braun. Nhưng năm 1903 ông đã là trợ giảng bậc hai và sau đó là trợ giảng bậc nhất của Viện vật lý. Tại Strasbourg nhà khoa học trẻ đã cùng với G. Brandes có được phát minh đầu tiên trong lĩnh vực thông tin vô tuyến. Sự phân tích về mặt lý thuyết đã đưa ông đến một kết luận rất lạ lùng, nhưng rất nhanh sau đó được khẳng định bằng thực nghiệm: Việc thu tín hiệu sẽ tốt hơn không phải là khi tăng (như nhiều người tưởng tượng) mà là khi giảm mối liên kết giữa anten và mạch cộng hưởng trung gian của hệ phức tạp. Sang năm 1904, ông có công trình đầu tiên về tý thuyết dao động và vật lý vô tuyến điện đặt nền móng cho sự cộng tác tốt đẹp của ông với N. D. Papaleksi.
Thời gian sống tại Strarsbourg của Mandelstam đầy ắp công việc. Ông nghiên cứu các công trình của những nhà vật lý kinh điển, trong số đó có Boltzmann, Helmholtz, Hertz, Lorentz, Rayleigh. Ông đặt những thí nghiệm về sự truyền ánh sáng qua các môi trường khác nhau. Ông đọc các bài giảng mà ở đó ngay lập tức đã nổi lên khả năng đặc biệt của ông truyền đến cho người nghe sự đẹp đẽ và ý nghĩa sâu sắc của các hiện tượng vật lý. Đó là các bài giảng về tính chất quang học của các vật thể trong suốt, về sự tán xạ, về quang từ và quang điện, về các hiện tượng cộng hưởng, về cơ sở vật lý điện báo không cần dây dẫn.
Năm 1908 Mandelstam trở thành hội viên Hội các nhà tự nhiên học và các bác sĩ Strasbourg, năm 1912 là hội viên Hội vật lý và tự nhiên học của Đức. (Sau khi Hitler lên nắm chính quyền ông ra khỏi hội của Đức).
Cuối tháng 7 năm 1914, trước khi xảy ra chiến tranh thế giới thứ nhất, Mandelstam trở lại Odessa, và sau đó chuyển đến Petrograd; ở đó ông đã làm chuyên viên trong nhà máy điện báo vô tuyến ''Siemens và Galske'' những năm 1915 - 1917. Theo lời của E. Ra. Shchegolev, người học trò và cộng tác lâu năm với Mandelstam thì những người làm việc với ông rất kinh ngạc vì ''đôi khi Leonid Isaakovich đã giải những bài toán về kỹ thuật rất phức tạp một cách thật đẹp thật tài tình, mà lại đơn giản đến mức, mỗi một người trong chúng tôi đều nghĩ: tại sao trước đó mình không nghĩ ra?''
Mùa thu năm 1917 Mandelstam trở thành giáo sư vật lý của đại học bách khoa Tiflis (ngày nay là Tbilisi) sau đó một năm, vào mùa thu năm 1918 nhà khoa học trở lại Odessa và đã tham gia tích cực vào việc sáng lập ra trường đại học bách khoa Odessa và xây dựng phòng thí nghiệm vật lý. Song do thiếu các dụng cụ và tài liệu khoa học nên việc nghiên cứu khoa học không được phát triển nhiều. Năm 1922 với tư cách là chuyên viên khoa học của liên hợp xí nghiệp kỹ thuật điện, Mandelstam tới Moskva và năm 1924 ông chuyển đến Leningrad. Ở Leningrad tại phòng thí nghiệm vô tuyến trung ương cùng với Papaleksi, ông đã tìm ra phương pháp điều biến điện thoại và điện báo vô tuyến mới, giữ ổn định tần số cũng như sơ đồ các máy thu có bộ lọc chất lượng cao. Mandelstam cộng tác với phòng thí nghiệm vô tuyến cả sau năm 1925 khi ông đã trở thành chủ nhiệm bộ môn vật lý lý thuyết Đại học tổng hợp quốc gia Moskva mang tên Lomomosov (MGU) và làm việc tại viện nghiên cứu khoa học vật lý thuộc đại học tổng hợp MGU. Từ thời gian đó bắt đầu nở rộ hoạt động khoa học và giảng dạy của ông. Tại MGU ông đã hướng dẫn các xêmina về các vấn đề quan trọng của vật lý học, ông đã đọc các bài giảng thu hút rất nhiều thính giả. Xung quanh nhà khoa học lập thành một lớp các nhà vật lý tài năng - các nhà chuyên môn trong lĩnh vực quang học, lý thuyết dao động, vật lý phân tử v.v...
Cuối những năm 20 - đầu những năm 30 của thế kỷ XX Mandelstam đã xây dựng học thuyết về các dao động phi tuyến tính, vạch ra phương pháp tư duy phi tuyến tính, cho phép làm việc với những mô hình phi tuyến tính mà không cần quy chúng về dạng tuyến tính.
Năm 1928 cùng với G. S. Landsberg ông đã phát hiện ra hiện tượng tán xạ kết hợp của ánh sáng, một phát hiện có tính cơ bản. Sự quá thận trọng trong việc đặt thí nghiệm và sự đòi hỏi cao đối với bản thân không cho phép Mandelstam công bố kết quả nghiên cứu mà không kiểm tra lại nhiều lần; điều đó làm mất ngôi đầu trong việc phát hiện ra hiện tượng tán xạ kết hợp, và người đầu tiên công bố về hiện tượng này là nhà vật lý người Ấn Độ Chandrasekhara Raman (1888 - 1970), người được nhận giải thưởng Nobel năm 1930.
Năm 1928 Mandelstam được bầu làm viện sĩ thông tấn, và năm 1929 ông đã trở thành viện sĩ chính thức Viện hàn lâm khoa học Liên Xô. Năm 1934 ông tham gia vào việc sáng lập ra Viện vật lý thuộc Viện hàn lâm khoa học Liên Xô.
Cuộc chiến tranh thế giới lần thứ hai đã làm gián đoạn cuộc sống hòa bình. Theo lệnh của chính phủ Mandelstam cùng với các viện sĩ khác phải sơ tán đến Cadăcxtan, ở đó ông sống tại làng Borovoe. Nhưng dù ở xa Moskva ông vẫn giữ được liên lạc với Viện vật lý. Các nhà vật lý S. L. Mandelstam (con trai ông), I. E.Tamm, N. D. Papaleksi, S. M. Rytov vẫn thường xuyên đến với ông. Nhà khoa học lập những kế hoạch, suy nghĩ về những tập chuyên khảo sẽ hoàn tất tương lai.
Khi trở về Moskva ông đã bị ốm nặng, song ông vẫn đề nghị được lên lớp dạy cho sinh viên đại học tổng hợp một chương trình mà sau này được in với đầu đề “Các bài giảng về quang học, lý thuyết tương đối và cơ lượng tử”(1972). Papaleksi nhớ lại: … đó là những buổi lên lớp cuối cùng của ông. Những bài giảng này thật đắt giá. Không ít lần trước giờ lên lớp ông cảm lhấy rất mệt, nhưng trên giảng đường ông vẫn ngời sáng bởi tài năng của mình. Bốn bài giảng về các dao động năm 1944 của ông không phải là những sự lặp lại các môtíp đã biết từ trước. Ông đã đưa vào các bài giảng này những điều mà ông đã suy nghĩ rất nhiều trong những năm cuối cùng của đời mình, đặc biệt là một loạt những ý tưởng mới liên quan đến giá trị của lý thuyết về dao động đối với toàn ngành, vật lý học. Những bài giảng này nằm trong số những công trình tuyệt diệu nhất và hứng thú nhất của ông”.
