PHÁT MINH RA SỐ 0, ẤN ĐỘ TRỞ THÀNH
CÁI NÔI CỦA SỐ HỌC HIỆN ĐẠI
Ấn Độ, Toán học không phải bao giờ cũng gắn bó với chữ viết. Tài liệu viết đầu tiên còn lại tới ngày nay xuất hiện vào Thế kỷ III Tr.CN; nhưng chúng ta cũng biết rằng, Ấn Độ có một nền văn minh phát triển trước đó nhiều, và một phần những hiểu biết khoa học có nguồn gốc từ đấy. Kiến thức được phổ biến chủ yếu bằng cách truyền miệng và được lưu giữ trong trí nhớ của nhiều thế hệ dưới dạng các bản Kinh Veda, trong đó ngẫu nhiên có những biểu hiện về những kiến thức toán học. Kinh Veda, được biên soạn bằng chữ Sanskrit dạng cổ. Cùng giống như tất cả các ngôn ngữ Ấn - Âu khác, chữ Sanskrit (chữ Phạn) có hệ đếm thập phân với các tên riêng cho 9 số hàng đơn vị cũng như cho một chục, một trăm, một nghìn và các luỹ thừa bậc cao hơn của 10.
Tên của hàng chục được hình thành từ tên của các đơn vị với ít nhiều biến đổi kèm theo một tiếp vĩ ngữ. Ví dụ vimcati 20, trimcat 30, catvarimcat 40. Các số khác được tạo ra từ những phần tử này. Tên của hàng trăm, hàng nghìn v.v.. . được cấu tạo từ tên đơn vị tiếp theo là cata hoặc sahasra. Dvecate (dual số hai) chẳng hạn, có nghĩa 200 còn trini-sahasrani số nhiều là 3000.
Trong một từ phức tiếng Sanskrit thành phần dùng để xác định đứng trước thành phần được xác định. Trường hợp các số phức hợp thì số lớn hơn được coi như thành phần dùng để xác định của số bé hơn. Số 11 là 10 + 1 cho ta từ phức cka-đaka, tương tự như thể ta có dvadaca (12) trayas-trmcat (33). Qua đây người ta thấy các số được phân thành hàng như thế nào, các số bé nhất đứng trước, tức là hàng đơn vị trước, rồi tới hàng chục v.v...
Chữ viết ra đời
Người ta chưa rõ trong thời kì nào và ai là người đã phát minh ra chữ viết ở Ấn Độ. Người ta chỉ biết rằng, vào Thế kỷ III Tr. CN đã có hai kiểu chữ viết khác nhau được sử dụng. Kiểu Kharoshti có nguồn gốc từ chữ Ả Rập, được sử dụng ở cực Tây Bắc của Ấn Độ và mau chóng bị bỏ quên. Kiểu thứ hai là Brahmi. Hình như nó được sáng tạo của chính người Ấn, là mẹ đẻ của tất cả các chữ viết hiện còn được dùng ở tiểu lục địa Ấn Độ và Đông Nam Á. Những chứng tích cổ nhất (giữa Thế kỷ III Tr. CN và Thế kỷ III CN) của các con số lưu hành trong thứ chữ này biểu thị một hệ thống ký hiệu đồ hoạ phù hợp tương đối trung thực với hệ thống tiếng nói.
Thực vậy, người ta đã tìm được bằng thực nghiệm một ký hiệu hình học cho mỗi tên gọi của một hàng số khác nhau, chín kí hiệu cho chín đơn vị, một kí hiệu dành cho hàng chục, một kí hiệu dành cho hàng trăm và một kí hiệu dành cho hàng ngàn... Các số được đọc lên bằng một tập hợp các phần tử, là tổ hợp của các kí hiệu. Chữ brahmi được đọc từ trái qua phải, các số cũng được viết theo chiều này, bắt đầu bằng thành phần có giá trị cao nhất. Chính đây là chỗ thể hiện sự khác biệt giữa chữ viết và tiếng nói. Người ta ghi số bắt đầu từ thành phần có giá trị cao nhất, nhưng khi nói thì bắt đầu từ thành phần có giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn, số 13 được phát âm là trayo-doca tức là "ba mươi”, nhưng được viết là ''mười ba''.
Sự tổ hợp các phần tử thường được thể hiện bằng cách đặt các kí hiệu cạnh nhau. trong một số trường hợp bằng các chữ ghép. Nếu hàng chục có các kí hiệu khác nhau cho 10, 20. .. thì đối với hàng trăm và hàng ngàn chỉ có một kí hiệu để chỉ 100, 1000 cộng với một kí hiệu để chỉ sổ lượng trăm, ngàn.
Trong giai đoạn này, ta chưa thể nói đến phép viết số theo vị trí. Chỉ có sự đặt cạnh nhau của các kí hiệu ghi số để diễn đạt số cần viết. Điều này hoàn toàn phù hợp với cấu trúc của ngôn ngữ (hình 1).
Số 0 và phép viết số theo vị trí
Trong phép viết số thập phân theo vị trí, hàng chục, hàng ngàn, hàng trăm không được thể hiện bằng các dấu hiệu khác nhau. Chúng được thể hiện bằng các dấu hiệu cho hàng đơn vị (digit) nhưng được đặt vào các vị trí khác nhau. Như vậy vị trí đã trở thành có nghĩa. Chỉ riêng vị trí cũng đã đủ để thiết lập hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn... Phép viết số này chỉ cần 10 kí hiệu là đủ: hàng 9 con số từ 1 đến 9 và số 0 hay ít ra là khoảng trống.
Không còn tư liệu chính xác về quá trình phát minh ra phép ghi số này ở Ấn Độ, về niên đại của phát minh. Cứ liệu sớm nhất về phép ghi này là cứ liệu văn học, Vasumira, một tác giả Phật học, nhân vật lãnh đạo của Đại hội đồng tôn giáo tập hợp dưới triều Vua Kanishka (từng cai trị toàn bộ miền Bắc Ấn Độ cuối Thế kỷ I, đầu Thế kỷ II CN); trong một tác phẩm của mình đã thể hiện ý tưởng cho rằng, nếu một chất tồn tại trong cả ba chiều của thời gian quá khứ, hiện tại, tương lai được nhận thức như một chất khác khi nó được chuyển sang một trạng thái khác; thì đây là một sự đổi chất do trạng thái thay đổi, chứ không phải sự đổi chất của chính nó. Để minh họa cho ý tưởng này, ông đã nói về một ký hiệu, khi đặt ở vị trí của hàng đơn vị có giá trị của đơn vị, nhưng khi đặt vào vị trí của hàng trăm lại có giá trị của hàng trăm, tuy không chính xác bản chất hoá của kí hiệu này.
Nó hoàn toàn có thể là một loại bàn tính. Dấu đó hẳn là một vật có thể đặt vào một cột hoặc một ô vuông, tại vị trí đó nó có giá trị của hàng chục. Hay nếu việc tính toán được thực hiện trên mặt đất thì dấu đó có thể là một kí hiệu ghi trên cát. Người ta biết bằng, các nhà kế toán Ấn Độ cổ rất yêu thích phương pháp này do sự đơn giản của nó. Tại một số vùng nông thôn Nam ấn, các nhà Chiêm tinh vẫn làm các con tính bằng cách di chuyển các Vỏ sò trong các ô vạch trên cát cho tới ngày nay. Dù bàn tính có dạng như thế nào đi chăng nữa, thì Vasumitra cũng đã nhắc đến một kí hiệu có giá trị tuỳ theo vị trí.
Đối với số 0 cũng vậy. Bằng chứng về việc sử dụng số 0 ở Ấn Độ được tìm thấy trong các văn bản cổ nhất. Chính số không góp phần tạo nên cách ghi số theo vị trí đầu tiên, đó là một khoảng trống chiếm vị trí trong cột, do đó không có một hình vẽ hoặc một kí hiệu ở đó, nhưng khoảng trống thể hiện giá trị hàng chục. Điều này được thể hiện rõ ràng bằng cách sử dụng một từ có nghĩa là ''trống không'' cunya, hoặc ''khoảng không'' kha. Từ kha được tìm thấy trong một chuyên luận về mêtric học của tác giả Pingala, trong đó ông trình bày các quy tắc biến đổi một số nhị phân thành số thập phân. Người ta không rõ Pingala sống vào thời nào, nhưng những đoạn trích dẫn tác phẩm của ông xuất hiện vào Thế kỷ III CN, chứng tỏ ông đã sống trước đấy.
Tiếp đó, một đấu chấm được dùng để chỉ một khoảng trống. Người ta biết điều này từ một tác giả viết truyện bằng chữ Sanskrit tên là Subandu, sống vào khoảng Thế kỷ VI CN. Để thể hiện số không, ông đã dùng một từ ghép cuya-bindu, nguyên văn có nghĩa ''điểm trống'' hay nói cách khác, một dấu chấm chỉ ra trạng thái trống trong cột.
Là chìa khoá của phép ghi số theo vị trí, bản thân số không xuất hiện trong một chứng thư khắc trên tấm đồng của thời Vua Devendravarman vùng Kalinga (Đông Ấn). Chứng thư này được ghi bằng chữ và bằng số: ''samvacchara-catam triracite (100) 83 shravane masi dine vimcati 20 utkirnnam'' có nghĩa là ''được khắc một trăm và tám mươi ba năm (100) 83 (đã qua) hai mươi ngày 20 trong tháng Shravane”. Con số 183 được ghi bằng ba ký hiệu: ký hiệu đầu tiên chỉ 100, rồi các ký hiệu 8 và 3. Con số 20 được ghi bằng số 2 và một vòng tròn nhỏ - số 0. Tư liệu này ra đời năm 681 CN.
Phép ghi số theo vị trí với một chấm to hoặc một vòng tròn nhỏ chỉ số không được tìm thấy trong các văn bản cổ ở vùng Đông Nam á (vùng Sambor, Campuchia.) và Kota Kapur (Malaysia), có niên đại sớm nhất là Thế kỷ VII. Chữ viết được dùng ở các nước này có chung nguồn gốc Ấn Độ. Tất cả các tư liệu này chỉ rõ rằng, vào cuối Thế kỷ VII việc sử dụng các số đếm theo vị trí và số không đã phổ cập, không riêng ở Ấn Độ, mà còn ở tất cả các nước chịu ảnh hưởng của nền văn minh Ấn Độ.
Hệ ghi số bằng 9 con số và một số không, nhanh chóng chiếm ưu thế, nhưng hoàn toàn không thủ tiêu hệ thống cũ, hiện vẫn tồn tại trong các bản viết tay và nhiều ấn phẩm xuất bản vào đầu Thế kỷ XX ở Nam ấn.
Các từ được dùng thay số
Người Ấn Độ còn biết đến và sử dụng một cách ghi pha trộn, trong đó có thông ký hiệu của cách ghi cũ dần dần được thay thế bằng các ký hiệu của cách ghi theo vị trí. Trong cách này, người ta thay tên các con số bằng các từ có giá trị số. Ví dụ, 2 được thay bằng "mắt”, “cánh”, “cánh tay”, ''sinh đôi”, 4 bằng "đại dương'' (có 4 đại dương theo thần thoại Ấn Độ), 10 bằng ''ngón tay”, 32 bằng “răng”, 100 bằng "độ dài cuộc sống của con người, và sốkhông bằng ''không gian trống''. Những từ này được xếp đặt như cách nói có nghĩa là trong một số phức các số có giá trị nhỏ thất được nhắc trước tiên, theo chiều ngược với cách viết. Ví dụ số 4320000 được viết nguyên văn là ''bốn chỗ trống- răng- đại dương'' hay 0000324. Ví dụ này được lấy từ sách Suryasiddhanta, một tài liệu thiên văn có chứa các dữ liệu có thể quan sát thấy trong Thế kỷ IV, là chứng tích sớm nhất của cách ghi pha trộn này, cách pha trộn rất được ưa chuộng trong lịch sử văn học bằng tiếng Sanskrit, thậm chí cả đối với các nhà thiên văn học và các nhà toán học. Ưu điểm của nó là chấp nhận nhiều phương án của từ vựng. Trong tiếng Sanskrit có hàng chục từ thông dụng để chỉ con mắt, nhưng chỉ có một từ duy nhất chỉ sổ 2. Thông thường văn liệu khoa học, kĩ thuật Sanskrit được viết dưới dạng các câu văn vận nên các tác giả của nó phải sử dụng được thành thạo một vốn từ vựng rất rộng thì mới có thể tìm ra những từ thích hợp với đòi hỏi của thơ ca.
Sẽ là một sai lầm, nếu nhìn nhận cách ghi pha trộn này như một giai đoạn quá độ từ hệ thống cũ đến cách ghi theo vị trí thuần tuý. Nó hẳn là một phương pháp đặc thù, được tác giả vốn thành thạo cả hai cách ghi số sử dụng trong các tác phẩm của họ.
Tiết kiệm và nhẹ nhàng
Năm 662 CN, Severus Sebokt - một tác giả người Syrie, muốn chứng tỏ rằng không riêng gì người Hy Lạp mới làm khoa học - đã dẫn ra khả năng phát minh của các học giả Ấn Độ. Trong nhiều hiểu biết toán học của người Ấn, Severus Sebokt đã nhắc đến các phép tính chỉ sử dụng có 9 chữ số. Ưu điểm nổi bật nhất của cách tính toán này theo Saverus Sebokt là tiết kiệm. Bằng cách giảm tối đa các kí hiệu chỉ còn 9 con số và số không đề ghi mọi số, hệ thống này tiết kiệm và hiệu quả tới mức lý tưởng đối với mọi ngành khoa học. Các tri thức Ấn Độ thời xưa hẳn đã có một ý niệm đầy đủ về các ưu thế của tính tiết kiệm, nên đã cho nó một thuật ngữ kỹ thuật- Laghava (“nhẹ nhàng”) và đã chuyên tâm trau dồi có từ xa xưa trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tư duy.
PIERRE SYLVAIN FILLIOZAT
