Tại sao ta thấy đường cong hình chuông ở khắp nơi?
Nếu định luật các số lớn bao hàm sự tập trung vào số trung bình, thì nó lại quá thô thiển để mô tả xác suất của một độ lệch so với số trung bình này. Đối với các hiện tượng rất khác nhau, người ta nhận thấy rằng các dao động sovới số trung bình, một khi được phóng đại bằng một hệ số phù hợp, thì có cùng định luật xác suất. Chẳng hạn, độ lệch giữa năng lượng đo được của một chất khí và năng lượng trung bình lý thuyết, độ lệch giữa trọng lượng trung bình của một lô gồm một trăm thỏi sôcôla và trọng lượng ghi trên bao bì, v.v... Mật độ xác suất của độ lệch giữa số trung bình được tính và số trung bình lý thuyết tạo ra một đường cong hình chuông (đường cong ''Gauss''), được hướng vào số 0; độ lệch so với số trung bình càng lớn, thì xác suất của hiện tượng quan sát càng nhỏ, kèm theo một sự giảm cân nhanh hơn nhiều so với một hàm (số) mũ. Định luật xác suất này được gọi là định luật Laplace-Gauss, hay định luật “bình thường”.
Điều mà người ta gặp định luật này hầu như ở khắp nơi là hệ quả của một định lý nổi tiếng và quan trọng, gọi là ''định lý về giới hạn giữa'', được Laplace chứng minh: nếu ta lấy trung bình cộng Y = (χ1 + χ2 + ... + χN) / N từ N biến số ngẫu nhiên độc lập và có cùng định luật xác suất (định luật nào cũng không quan trọng: đây là mặt đáng chú ý của định lý) có số trung bình m và phương sai[1] ơ2, thì các dao động của Y so với số trung bình m, khi được nhân với √N/σ, được phân bố theo định luật Gauss có số trung bình 0 và phương sai 1, khi N rất lớn. Cũng như đối với mọi định lý, có những điều kiện, chẳng hạn kết quả trên đây không có giá trị khi định luật xác suất cá biệt không có phương sai, tức là nếu độ phân tán cá biệt quá lớn. Ngoài ra, nếu người ta không tăng các dao động bằng hệ số √N, thì xác suất để quan sát một giá trị nào đó của độ lệch so với số trung bình giảm theo hàm mũ ở N trong các trường hợp thông dụng.
