CHẾ NGỰ CÁI HỖN ĐỘN
Khi chúng ta bị lôi cuốn bởi vẻ đẹp bởi tính đa dạng và phức tạp của khoa học, chúng ta đôi khi quên mất rằng giá trị cơ bản của khoa học được phát biểu một cách rất đơn giản: khoa học phải có khả năng tiên đoán. Điều đó chính là sứ mệnh cơ bản của khoa học: từ mớ hỗn độn của các hiện tượng phải rút ra những gì có trật tự, hiểu được, tổng quát và hữu dụng.
Năm 1776, Pierre Simon de Laplace đã viết: ''Trạng thái của hệ tự nhiên trong hiện tại lẽ dĩ nhiên là hệ quả của trạng thái của hệ trong thời điểm trước đó, và nếu như chúng ta hình dung có một trí tuệ nắm bắt được trong khoảnh khắc đã cho mọi mối liên hệ giữa các vật thể của Vũ trụ, thì sự thông tuệ đó sẽ giúp chúng ta thiết lập các vị trí, các chuyển động tương ứng và các tác động tương hỗ của tất cả đối tượng đó vào một thời điểm bất kỳ trong quá khứ cũng như trong trong lai.
Vật lý thiên văn, một lĩnh vực kiến thức đem lại vinh dự vĩ đại cho trí óc con người có thể là một ví dụ, tuy chưa đầy đủ về sự thông tuệ đó. Tính đơn giản của các quy luật chỉ phối chuyển động của các thiên thể, các tỷ số giữa khối lượng và khoảng cách của chúng cho phép chúng ta phân tích chuyển động của chúng đến một điểm cho trước. Và để xác định trạng thái của hệ các thiên thể lớn đó trong các thế kỷ đã qua và sắp đến, nhà toán học chỉ cần biết vị trí và vận tốc của chúng từ quan trắc tại một thời điểm bất kỳ... Song sự thiếu hiểu biết về những nguyên nhân khác nhau đã sinh ra những hiện tượng này hay hiện tượng khác và tính phức tạp của những nguyên nhân đó cộng với sự thiếu hoàn hảo của các phương pháp phân tích đã ngăn cản chúng ta đạt được niềm tin khi nghiên cứu một số rất lớn các hiện tượng. Do đó tồn tại những điều không xác định đối với chúng ta, những điều ít nhiều mang tính xác suất và chúng ta cố gắng bù trừ tình trạng bất khả tri các điều đó bằng cách xác định các mức độ xác suất. Thì ra, điểm yếu của trí tuệ của chúng ta đã làm xuất hiện một trong những lý thuyết toán học tinh tế và đầy tính nghệ thuật - đó là môn khoa học về cái ngẫu nhiên, tức lý thuyết xác suất''.
Thật đáng ngạc nhiên vì rất nhiều điều đã được nói lên trong đoạn viết trên! Ngay từ đầu Laplace đã phát biểu nguyên lý nhân quả, trên nền tảng nguyên lý này là toàn bộ lâu đài vật lý; nguyên lý này cũng chưa được rõ ràng lắm trong nửa sau thế kỷ XVIII. Người ta cho rằng, việc áp dụng nguyên lý này chỉ khả dĩ trong một số trường hợp đơn giản nhất ví dụ trong chuyển động các hành tinh. Bây giờ cũng khó hình dung phát biểu này hồi đó khác
thường đến mức nào: việc tính toán chuyển động các thiên thể là một trong những bài toán đơn giản mà khoa học có thể giải được!
Có lẽ ấn tượng do đoạn đầu trong phát biểu của Laplace gây nên quá mạnh, cho nên nhiều người không để ý đến các phần sau. Và cho đến ngày nay người ta vẫn cho rằng theo Laplace dường như nếu có thể đo được vị trí và vận tốc của tất cả phân tử thì ta có khả năng tính trước mọi biến cố trong Vũ trụ. Song thực tế Laplace đã viết trong các đoạn sau là ''một số rất lớn hiện tượng'' vẫn chưa tỏ tường: chúng ta thiếu sự hiểu biết về các nguyên nhân (có nghĩa là vật lý của các hiện tượng này), công cụ toán học (phép giải tích theo thuật ngữ thời bấy giờ) không hoàn chỉnh.
Laplace cũng đã nói đến những phương pháp gián tiếp để nhận thức thế giới, đã gợi ý đến lý thuyết xác suất là một lý thuyết chỉ chiếm vị trí xứng đáng trong nghiên cứu vật lý vào những năm 30 của thế kỷ XX! Những công trình của nhà toán học người Nga Andrei Nikolayevich Kolmogorov (1903 - 1987) đã thúc đẩy việc đó: ông đã xây dựng các cơ sở tiên đề của lý thuyết xác suất. Trước ông người ta rất khó xác định đâu là chân lý và đâu là sai lầm trong lý thuyết xác suất và trong toán thống kê dựa trên nó.
Ngày nay chúng ta đã hiểu được rằng những khó khăn của khoa học mà Laplace liệt kê đã xác định phần nhiều phương pháp nghiên cứu của hơn hai và một phần tư thế kỷ tiếp theo. Các nhà khoa học đã mở rộng ''sự hiểu biết về các nguyên nhân'', đã phát triển công cụ toán học đã hoàn thiện kỹ thuật đo đạc và thí nghiệm.
Trong thế kỷ XIX, nhờ khoa học người ta có thể đưa ra những dự báo chính xác và dài hạn trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Song vào đầu thế kỷ XX người ta cũng gặp phải những thất bại khó hiểu buộc nhà toán học người Pháp Jacques Hadamard (1865 - 1963) phải tạo nên khái niệm chặt chẽ về cách đặt các bài toán một cách đúng đắn trong vật lý toán. Theo Hadamard một bài toán đặt ra một cách không đúng đắn (không chỉnh) thì không cần phải giải: mọi lời giải đều là những tổ hợp số vô nghĩa. Về những bài toán đặt ra không vào năm 1903, Henri Poincaré đã phát biểu như sau: "Một nguyên nhân hoàn toàn không đáng kể trượt ra ngoài phạm vi chủ ý của chúng ta đã gây nên hiệu ứng đáng kể mà chúng ta không thể không nhận thấy, thì chúng ta nói là hiệu ứng đã bị gây nên bởi sự ngẫu nhiên. Nếu như chúng ta đã biết chính xác các quy luật của tự nhiên và vị trí của Vũ trụ ở thời điểm ban đầu, thì chúng ta sẽ có thể tiên đoán chính xác vị trí của Vũ trụ vào thời điểm tiếp theo. Nhưng thậm chí nếu như các quy luật của tự nhiên đã mở ra cho chúng ta mọi bí mật của Vũ trụ, chúng ta cũng chỉ có thể biết về vị trí ban đầu một cách gần đúng. Và nếu như sự hiểu biết đó giúp chúng ta tiên đoán vị trí tiếp theo với cùng một phép gần đúng như thế thì đó sẽ là tất cả những điều chúng ta cần và chúng ta đã có thể nói rằng hiện tượng đã được tiên đoán và các định luật đã điều khiển hiện tượng này. Song sự việc không luôn luôn suôn sẻ như vậy: có thể xảy ra tình huống khi những khác biệt nhỏ trong điều kiện ban đầu lại dẫn đến những khác biệt rất lớn của hiện tượng cuối cùng. Một sai số nhỏ trong điều kiện ban đầu sẽ làm phát sinh một sai số lớn ở giai đoạn cuối. Sự tiên đoán trở nên không thực hiện được và chúng ta gặp phải hiện tượng, phát triển theo ý muốn của ngẫu nhiên''.
Các tính chất tự đồng đạng của tập fractal Mandebrot Mandebrot. Trên các hình trên có phần ảnh nằm trong khung được phóng đại trong hình tiếp theo. Tất cả chúng đều bộc lộ cùng một cấu trúc. | |
Một quan điểm tương tự đối với các bài toán không chỉnh cũng như các bài toán không có ý nghĩa vật lý đã ngự trị trong nhiều thập kỷ. Các nhà vật lý cũng như các nhà toán học, không ai bỏ tâm nghiên cứu những bài toán như vậy. Song thực tiễn lại đặt ra trước mắt khoa học những bài toán ngày càng mới. Và cuối cùng người ta hiểu rằng: nghiên cứu những bài toán không chỉnh là điều cần thiết. Một điều đáng ngạc nhiên là ngay cả bài toán xấp xỉ tính đạo hàm cũng là bài toán không chỉnh! Một tập hợp lớn các bài toán đặt ra không chỉnh (trong vật lý kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác) là những bài toán ngược: các đặc trưng định lượng của hiện tượng được xác định theo kết quả các phép đo đạc gián tiếp. Ví dụ ở bài toán ngược trong trọng lực học, người ta đo các dị thường của lực hấp dẫn (trọng lực), gây nên bởi các mỏ khoáng sản. Và sau đó phi tính ra hình dạng và độ sâu của lớp khoáng sản. Người ta cũng phải giải bài toán ngược trong vật lý các hạt cơ bản: ở đây người ta phải tính khối lượng và điện tích của các hạt theo các kết quả đo đạc về tán xạ.
Những phương pháp giải những bài toán không chỉnh đã được đưa ra vào đầu những năm 1960 bởi các nhà toán học Nga thuộc trường phái Andrei Nikolayevich Tikhonov (1906 - 1993). Ý tưởng cơ sở của những phương pháp đó là đơn giản: sử dụng những thông tin phụ về vật lý và toán học về dạng của lời giải phải tìm để xác định lại bài toán không chỉnh để biến chúng thành những bài toán đúng đắn.
Vào giữa thế kỷ XX máy tính điện tử đã xâm nhập vào khoa học. Và khoa học đã thay đổi bộ mặt đến mức không còn nhận ra được nữa. Chỉ cần nói đến sự xuất hiện những phương pháp mô hình hóa bằng số, những thí nghiệm bằng số đã giúp phát hiện ra nhiều hiện tượng mới trong vật lý, hóa học, v.v... cũng đủ cho ta thấy điều đó. Và các quan niệm về cái ngẫu nhiên, về hỗn độn đã được làm phong phú, được phát triển lên rất nhiều.
Cuối những năm 1940 vì nhu cầu của việc mô hình hóa bằng số, người ta cần đến những dãy số ngẫu nhiên. Các bảng số ngẫu nhiên và các máy phát tự nhiên các dãy ngẫu nhiên (ví dụ máy đếm Geiger) đã được sử dụng một thời, nay không còn thích hợp nữa: các bảng đó quá ngắn, còn máy đếm quá chậm. Cần phải tạo ra nhũng số ngẫu nhiên bằng thuật toán nghĩa là bằng máy tính. Thuật toán giúp tạo ra các dãy có độ dài đến 2 tỷ số không trùng nhau không khác biệt với các dãy ngẫu nhiên phân bố đều đã được nhà toán học Pháp D. Lemaire đưa ra vào năm 1951.
Thuật toán của Lemaire rất hữu hiệu đến mức hiện nay vẫn được người ta sử dụng. Thuật toán này dựa trên công thức đơn giản:
với x0, a, c < M.
Hàm mod M với ký hiệu là a(mod b) là số dư trong phép chia a cho b. Ví dụ 15 (mod4 = 3; 17(mod 10) =7; 8(mod 3) = 2.
Trong các chương trình máy tính thực hiện thuật toán này, a, c và M được cho trước và phụ thuộc vào các số đó sẽ là dung tích các dãy số ngẫu nhiên (thường thì a = 69069, c = 0, M = 231). Còn trị số xo do người sử dụng chọn. Lấy trị số đứng trước rồi thực hiện các phép tính tiếp theo chúng ta sẽ thu lại đúng dãy các số ngẫu nhiên ấy.
Thuật toán Lemaire thực tế cho phép mô hình hóa một cách hữu hiệu mọi quá trình ngẫu nhiên từ quá trình tung ném đồng xu đến quá trình mô hình hóa hoạt động các lò phản ứng hạt nhân.
Vào những năm 1960, Benoit Mandelbrot (sinh năm 1924) người Pháp gốc Ba Lan, lúc bấy giờ là cộng tác viên của công ty máy tính IBM đã phát hiện một lớp mới các đối tượng có tính tự đồng dạng dễ tạo nên và đặc biệt bắt mắt.
Mandelbrot đưa vào thuật ngữ fracfal (từ chữ La tinh fractio = gãy, gấp) để chỉ đối tượng hình học có tính tự đồng dạng lúc được phóng đại lên bất kỳ số lần nào. Chuyển động Brown là một ví dụ đơn giản của hiện tượng tự nhiên, phù hợp với định nghĩa trên. Một đoạn lộ trình của hạt chuyển động Brown, mới nhìn tương tự như một đoạn thẳng song khi được phóng đại bằng kính hiển vi thì trở thành một đoạn lộ tính chứa nhiều nếp gãy, gấp và không đều giống như toàn bộ lộ trình Brown đó.
Lẽ dĩ nhiên trong thiên nhiên tính tự đồng dạng luôn luôn chỉ thực hiện đúng và chỉ trong những giới hạn được biết mà thôi. Tồn tại rất nhiều cấu trúc fractal: Các đường bờ biển, các dòng sông, các đường viền đám mây và cây cối, các dòng chảy rối của chất lỏng và chất khí...
Song gây ấn tượng mạnh mẽ nhất là các fractal trong cơ thể động vật. Cấu trúc các nang phổi tuân theo các định luật của hình học fractal. Những chi tiết lớn và nhỏ cấu tạo của ruột non cũng có tính tự đồng dạng. Các mạch máu của quả tim cũng phân nhánh theo kiểu
fractal. Các mấu thần kinh, xuất phát từ các tế bào não noron thần kinh tức các sợi nhánh (dendrite) cứ phân nhánh thành các sợi ngày càng mảnh hơn. Nhịp đập của quả tim người bình thường cũng có tính tự đồng dạng: khi chúng ta ghi nhịp đập trong những khoảng thời gian khác nhau (ví dụ 3, 30 và 300 phút) ta quan sát thấy những thay đổi nhanh trong thời gian ngắn đồng dạng với những thay đổi chậm trong thời gian dài.
Một điều lý thú là để thu được những fractal quen biết nhất người ta đã dùng những thuật toán không đơn giản hơn thuật toán Lemaire. Việc xây dựng tập Julia và tập Mandelbrot dựa trên cơ sở việc sử dụng phép lặp
trong đó, zk = xk + iyk và c = p + iq là những số phức. Dạng thức tương đương cho phần thực và phần ảo là
Mỗi điểm tiếp theo xk+1 có thể thu được, nếu trong các công thức trên ta đặt điểm xk vào đấy. Biên fractal của tập Julia lấy những hình thù đa dạng kỳ lạ và chỉ phụ thuộc vào trị số của tham số c.
Nếu cố định xk và chọn nhiều trị số khác nhau của c, ta sẽ có tập Mandelbrot (vùng màu đen trên hình vẽ). Mỗi số phức c hoặc rơi vào vùng đen hoặc không. Trong trường hợp thứ nhất tập Julia sẽ là những cấu trúc liên thông còn trong trường hợp thứ hai, sẽ phân rã thành bụi Fatou, theo tên của Pierre Fatou (1878 - 1929) nhà toán học Pháp.
Công thức cho thuật toán của một fractal phức tạp lại là một công thức khá đơn giản. Còn về phần mối liên hệ ngược thì thế nào? Có thể chăng biểu diễn mọi hình ảnh qua fractal? Nếu học được cách giải dạng mới này của các bài toán ngược thì chúng ta có thể nén những file nhiều megabyte chứa những hình ảnh được số hóa theo từng điểm thành những công thức fractal với vài chục tham số.
Việc tìm ra vào giữa thế kỷ XX những thuật toán (tương đối đơn giản) tạo ra những số ngẫu nhiên với bất cứ dạng nào (tất định, hỗn độn có điều khiển) đã làm phát sinh một làn sóng dây chuyền các nghiên cứu đa dạng theo các hướng tương tự.
NGẪU NHIÊN- HỖN ĐỘN VÀ NGẪU NHIÊN - TRẬT TỰ
Tính ngẫu nhiên trong ý nghĩa thường nhật là sự biểu hiện của hỗn độn. Trong các từ điển, người ta giải thích đó là những điều không tiên đoán được, không có nguyên nhân, không kiểm soát được, không có ý nghĩa. Trước kia, khoa học và triết học đã nhận định như vậy về cái ngẫu nhiên.
Song trong khoa học hiện đại tình huống đã khác hẳn: cái ngẫu nhiên đã biến thành một dạng được xác định một cách chặt chẽ và hoàn toàn của trật tự đáp ứng mọi tiêu chuẩn khoa học. Xây dựng những mô hình hữu dụng của nhiều hiện tượng chỉ thành công sau khi thay đổi một cách cơ bản quan điểm tiếp cận đối với cái ngẫu nhiên.
Trong đời sống, biến cố ngẫu nhiên được xem như là một hiện tượng độc lập. Song với khoa học thì biến cố ngẫu nhiên lại là một phần của một tổng thể khác - đó là dãy ngẫu nhiên có rất nhiều tính chất mà sự tồn tại hoặc vắng mặt của các tính chất ấy có thể thiết lập một cách chính xác bằng toán học, có thể kiểm tra tính toán và sử dụng. Chính các dãy ngẫu nhiên này là đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất và toán thống kê.
Nói tóm lại, sự khác biệt giữa cái ngẫu nhiên trong đời thường và trong khoa học là trong đời thường nói một cách hình tượng, cái ngẫu nhiên mang đặc trưng định xứ (cục bộ) của thực tại, còn trong khoa học thì mang tính toàn bộ. Một khác biệt còn quan trọng hơn nữa là: trong cái ngẫu nhiên “khoa học” người ta nghiên cứu không phải các nguyên nhân làm nảy sinh mà chỉ nghiên cứu tính chất của các dãy ngẫu nhiên và các biến cố trong các dãy đó. Vả lại, tình huống tương tự như đối với mọi mô hình: ở đây nghiên cứu bài toán về chuyển động của chất điểm người ta cũng không đặt câu hỏi, từ đâu và vì sao chất điểm đó xuất hiện.
Các dãy ngẫu nhiên gồm vô số biến cố ngẫu nhiên có một tính chất đặc biệt quan trọng là tính tự đồng dạng. Điều đó có nghĩa là mỗi đoạn hữu hạn không nhỏ lắm của dãy ngẫu nhiên đều có các đặc trưng gần như nhau của toàn bộ dãy ngẫu nhiên. Một số định luật như thế (được biết dưới tên định luật những số lớn) bảo đảm giá trị “khoa học” thực tiễn của cái ngẫu nhiên “khoa học” và cả trong những lĩnh vực không liên quan đến cái ngẫu nhiên ''đời thường''. Chính nhờ định luật đó mà khi phỏng vấn chỉ vài nghìn người, chúng ta có thể biết được với độ chính xác cao ý kiến của nhiều chục triệu cử tri hay người tiêu dùng. Vào đầu những năm 50 của thế kỷ XX, những thuật toán đầu tiên tạo ra những dãy số ngẫu nhiên trên máy tính điện tử đã được xây dựng theo sự hiểu biết truyền thống về ngẫu nhiên. Và người ta cũng đã tạo ra một thuật ngữ đặc biệt - ''số giả ngẫu nhiên'': những số thu được là ngẫu nhiên theo mọi tiêu chuẩn của ngẫu nhiên ''khoa học''. Nhưng những số này được tạo nên bằng thuật toán và điều đó có nghĩa là chúng mang tính tất định luận theo nghĩa truyền thống của từ ấy.
Tuy nhiên đến đầu những năm 70 của thế kỷ trước, nhiều sinh viên làm việc trên máy tính, sau khi học qua lý thuyết xác suất đã không thể nào hiểu được các số giả ngẫu nhiên này khác các số ngẫu nhiên ở điểm nào, vì chúng là ngẫu nhiên theo mọi tiêu chuẩn.
HỖN ĐỘN VÀ TRẬT TỰ
Đối với người Hy Lạp cổ, ''chaos'' (hỗn độn) có nghĩa là hố hoác miệng, là một lỗ trải rộng, là một điều gì đó không trông thấy được, không cảm nhận được và không có bất cứ tính chất nào, - là điều không thể gọi tên vì nếu gọi được thì bản thân điều đó đã có một số tính chất nào đó rồi. Những người La Mã cũng có những quan niệm đầy cảm giác về hỗn độn. Đối với họ hỗn độn là một dạng khác của địa ngục - là một cái hố không đáy kinh dị, ở đấy tồn tại bị phân vụn, bị nóng chảy; ở đấy mọi việc đều biến đi, song cũng xuất hiện từ đó. Trong ngôn ngữ hiện đại, từ chaos (hỗn độn) chỉ có nghĩa là hỗn loạn, mất trật tự cùng cực.
Còn thế nào là trật tự, thì dường như dễ hiểu đối với mọi người: đó là một cái gì có tính đều đặn, có tổ chức, được xếp đặt hoặc ít nhất cũng có vẻ như vậy. Và cái định nghĩa không hoàn toàn nghiêm ngặt này cũng chẳng sao: mỗi người chúng ta vừa cảm thận được trật tự và cũng đồng thời cảm nhận sự thiếu vắng trật tự.
Tuy nhiên mọi người cảm nhận điều đó một cách khác nhau. Ví dụ một đống sách và giấy tờ nằm trên bàn của một người nào đó gây cảm giác hỗn độn với một người khác. Và người này cố gắng đem lại trật tự: anh ta phân loại các sách và giấy tờ theo kích thước và xếp đặt chúng thành từng chồng cẩn thận. Song người đang làm việc trên chiếc bàn đó chưa chắc đã cám ơn anh vì sự ''giúp đỡ'' đó. Đối với ông, sự bố trí sách vở, giấy tờ bây giờ trở nên hỗn độn ông không còn biết tài liệu nào nằm ở đâu!
Khuynh hướng tiến đến nhận thức, tư duy, xếp đặt trật tự lại mọi vật chung quanh chúng ta có sẵn trong con người ở mức bản năng, và các nhà tâm lý học đã sử dụng đều này trong trắc nghiệm Rorschach. Họ đưa ra trước mắt những người tham gia trắc nghiệm một vết mực không hình thù gì một vết hỗn độn. Và những người này nhất thiết phải tìm thấy trong vết sơn hỗn độn ấy một hình tượng nào đó lẽ dĩ nhiên mỗi người nhận ra một hình tượng khác nhau.
Tính trật tự hay không trật tự không phải là thuộc tính của thế giới chung quanh mà thuộc về cảm nhận của con người đối với thế giới. Sự hiểu biết thế giới càng sâu, càng toàn diện thì người ta càng cảm nhận được tính trật tự của thế giới và ngược lại.
Nhưng trật tự, mà con người ta đem vào trong bức tranh của thế giới, phụ thuộc không chỉ vào khả năng nhận thức của họ. Chẳng hạn một người yêu âm nhạc cổ điển không thể nào chịu nổi âm nhạc ''trẻ'' hiện đại - đối với họ loại âm nhạc này là một mớ hỗn độn, nhức óc. Hoặc lấy một ví dụ khác: cũng là một cánh rừng nhưng một người đi hái nấm, một người thợ săn hay người du lịch lại đánh giá xem xét và sử dụng một cách khác nhau. Nói cách khác, mục đích, tiêu chuẩn giá trị, kinh nghiệm có được của con người và nhiều điều khác đã làm giảm hoặc tăng sự cảm thụ của người đó một cách có chọn lọc, và làm cho người này đánh giá cao ý nghĩa và tầm quan trọng của một số chi tiết, còn người khác lại cho những chi tiết đó là những điều vớ vẩn chẳng có gì đáng giá.
Còn đối với trật tự hàm chứa trong các định luật khoa học, đã được kiểm nghiệm nhiều lần rồi thì sao? Phải chăng là những trật tự này cũng không phản ánh các tính chất khách quan của thế giới? Nhà vật lý và triết học nổi tiếng người Pháp Leon Brillouin (1889 -1969) đã nói: ''Các mô hình vật lý khác biệt với thế giới tương tự như bản đồ địa lý với bề mặt Trái Đất''.
Lịch sử khoa học và lịch sử các bản đồ địa lý đã chứng minh tính đúng đắn của phát biểu trên của Brillouin. Và các lý thuyết vật lý cũng như các bản đồ đã thay đổi trong quá trình phát triển. Song ở các thế hệ mới của lý thuyết và bản đồ, ngày càng ít chỗ cho những vết trắng, nhận thức về thế giới ngày càng chi tiết hơn, càng chính xác hơn và con người càng có thể sử dụng hữu hiệu hơn lý thuyết và bản đồ vì lợi ích của mình.
MÔ HÌNH CHẢY RỐI ''CON BỌ''
Để thấy sự phát sinh chuyển động hỗn độn trong nước, cách đơn giản nhất là làm chuyển động trong nước mọi vật có hình dạng không thuôn kiểu khí động học. Với một vận tốc không lớn người ta đã có thể quan sát được sự phát sinh các cuộn xoáy. Khi vận tốc trở nên rất lớn thì phát sinh các vết chảy rối, như ở đuôi những con tàu thủy chạy nhanh. Trong vùng các vết này, những hạt nước chuyển động hoàn toàn vô trật tự, một cách hỗn độn. Một chuyển động như thế của chất lỏng lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà khoa học: Kelvin, Boussinesq, Reynolds và Rayleigh. Thuật ngữ ''chảy rối'' (turbulence) do Kelvin đưa ra, ông lấy từ nguyên la tinh ''turbulentus'' (có nghĩa, là không yên tĩnh, không trật tự). Năm 1883, Reynolds thực hiện các thí nghiệm về chảy rối của nước trong những ống nước bình thường.
Chảy rối là một hiện tượng rất phức tạp, nói đúng hơn là sự phức hợp của nhiều hiện tượng. Người ta biết nhiều kiểu chảy rối, mất trật tự theo nhiều cách khác nhau. Mô hình toán học của chuyển động chảy rối đơn giản nhất được xây dựng cách đây không lâu, và để nghiên cứu mô hình này người ta chủ yếu dùng các thí nghiệm trên máy tính.
Nhờ những máy tính số học bình thường, chúng ta cũng có thể nghiên cứu mô hình đơn giản nhất của chuyển động chảy rối. Dẫu rằng mô hình này thô sơ, nhưng nó cũng phản ánh được các nét đặc trưng của các hiện lượng phức tạp và phổ biến trong quá trình phát sinh hỗn độn. Để nghiên cứu mô hình này, ta chỉ cần biết 3 phép tính số học.
Hãy tưởng tượng một con bọ thông minh nắm được 3 phép tính và nhảy theo những quy tắc định trước. Nếu ở thời điểm 
con bọ ở điểm xn trên trục x, thì ở thời điểm tiếp theo 
con bọ chuyển động đến điểm 
trong đó b là một số chọn trước, đặc trưng cho mỗi con bọ (có thể gọi b là ''hằng số bọ''). Cho rằng con bọ bắt đầu chuyển động từ 1 điểm trên đoạn 
Cần phải xác định vị trí, của con bọ sau một thời gian dài, nói cách khác cần xác định xn với n lớn. Bài toán trông chừng có vẻ đơn giản song khó lòng giải được bài toán này nếu không sử dụng máy tính số học. Song trước khi bước vào các thí nghiệm, trước hết hãy suy nghĩ về vấn đề chúng ta sẽ thu được điều gì từ các thí nghiệm đó. Hãy xét đường cong AA0A1 (xem hình) biểu diễn phương trìrth x2 + x = b. Nếu xn tiến đến một giới hạn nào đó thì trị số giới hạn sẽ nằm trên đường cong này. Song các thí nghiệm số lại chứng tỏ rằng chỉ những con bọ có điểm tọa độ (xo; b) nằm trong hình A0B1B’1A’0 (đường cong A’0 A0 là đối xứng gương qua trục Ob) mới tiến đến đường cong A0A1. Và không một con bọ nào rơi vào nhánh A0A, và nếu “hằng số bọ” b của chúng và tọa độ ban đầu x0 lấy những trị số sao cho điểm (xo;b) nằm trong vùng gạch chéo thì các con bọ sẽ chạy xa ra vô cực. Số phận của những con bọ có “hằng số” b < 0,75 hoàn toàn được xác định: những con bọ này hoặc chết ở vô cực hoặc bị hút về các điểm của đường cong A0A1, ở đấy chúng ta dễ dàng bắt được chúng. Số phận các con bọ với (x0; b) trong vùng B1B2B’2B’1 cũng không kém phần bất hạnh. Những con bọ này cuối cùng cũng rơi vào đường cong A2A1A’2 và khi n đủ lớn chúng nhảy từng bước từ A1A’2 đến A1A2 và ngược lại. Có thể dễ dàng thu được phương trình của đường cong này bằng cách sử dụng tình huống lúc n lớn, sau hai lần nhảy liên tiếp, con bọ sẽ nằm gần chính nhánh đó, có nghĩa là xn+2 = xn. Từ đó ta có phương trình 
và ở giới hạn lúc 
ta lại có:
vế trái của phương trình này bằng tích của hai thừa số (x2 + x – b) và (x2 – x + 1 - b). Khi thừa số thứ nhất tiến tới 0 ta có đường cong AA0A1, còn khi thừa số thứ hai tiến tới 0 sẽ cho ta đường cong A2A1A’2. Cho đến giờ chúng ta có thể với tiên đoán được điều gì sẽ xảy ra ít nhiều chính xác. Song nếu ''hằng số bọ'' lớn lên thì mọi việc trở nên phức tạp. Các đường cong trước đây đã cuốn hút các con bọ giờ đây lại phân đôi và lúc b <1,5 các bước nhảy của con bọ không còn có thể được tiên đoán và trở nên vô trật tự. Trên hình vẽ tình huống này ứng với vùng bôi đen. Ví dụ nếu con bọ bắt đầu chuyển động trên đoạn B3B’3 bị cuốn hút vào đoạn C3C3’ vốn chứa dày đặc các trị số giới hạn của tọa độ con bọ.
Tập các điểm có tính lôi kéo (ở đây là lôi kéo con bọ) về mình có thuật ngữ khoa học và tâm hút (attractor). Ví dụ tâm hút trong con lắc có ma sát chỉ gồm một điểm duy nhất là vị trí cân bằng phía dưới. Tâm hút của cái đu lại là chuyển động chu kỳ, khi năng lượng mất đi vì ma sát được bù trừ chính xác bởi năng lượng cung cấp cho việc đẩy cái đu.
Tâm hút trong mô hình con bọ trên đây có cấu trúc tương đối phức tạp. Khi b < 1,5 thì chuyển động của con bọ là chuyển động có chu kỳ, chuyển động này chuyển từ nhánh này sang nhánh kia một cách đều đặn. Trên các đường A1A’1 tính chất của chuyển động thay đổi bằng bước nhảy, vì số nhánh nhân đôi. Đây là một hiện tượng rất đặc thù đối với các hệ phi tuyến và có tên là hiện tượng phân nhánh (bifurcation - gốc La tinh bifurcus = phân đôi). Khi hằng số bọ b tăng lên mô hình chuyển sang một vùng chuyển động hỗn độn qua một dãy phân nhánh (đối với con bọ, sự hỗn độn có nghĩa là tự do, khi b tăng lên thì con bọ có thể bước từ thế giới tất định sang thế giới tự do.
Một điều lý thú là trong xứ sở tự do, thỉnh thoảng (nói đúng hơn với một trị số của b) phát sinh những ốc đảo tất định, ở đây chuyển động lại trở thành chu kỳ.
Nếu b < 1,5 chu kỳ là 2n, thì trên các ốc đảo chu kỳ bằng 3,5,7, v.v…
Một mối tương quan như vậy giữa chuyển động chu kỳ và chuyển động hỗn độn (sự phân đôi chu kỳ, sự chuyển sang hỗn độn, sự xuất hiện những ốc đảo tất định) là nét đặc trưng cho rất nhiều hệ vật lý. Tập hợp các điểm hút, tại đó chuyển động là hỗn độn gọi là tâm hút lạ.
Gọi hằng số bọ tại các điểm phân nhánh là bn, như thế b1 = -0,25, b2 = 0,75,v.v… Khi n có trị số lớn thì hiệu các số này trờ thành một cấp số nhân. Nói đúng hơn là
với 
Ông đã tính trên máy tính một mô hình gần giống mô hình trình bày trên đây. Sau khi tìm ra định luật trên đây, Feigenbaum bắt đầu nghiên cứu những ''kịch bản hỗn độn'' khác và sớm hiểu rằng ông đã phát hiện ra một định luật mới của thiên nhiên. Song thuyết phục những nhà khoa học khác về phát hiện này không phải dễ: bài báo của ông trong 2 – 3 năm không được tạp chí nào nhận đăng. Tuy nhiên có nhiều phương pháp khác để thuyết phục người khác, ví dụ sử dụng diễn đàn các hội thảo khoa học. Chẳng bao lâu sau đó các nghiên cứu về phân nhánh và hỗn độn nhanh chóng trở thành những đề tài khoa học thời thượng. Số 
bây giờ có tên là hằng số Feigenbaum và định luật do ông tìm ra về sự phân cố các phân nhánh được gọi là định luật đồng ứng Felgenbaum. Lẽ dĩ nhiên trên đây mới chỉ là bước đầu tiên trên con đường tìm biểu hiện tượng chảy rối. Song tiếp tục đi trên con đường đó, chúng ta có thể hiểu hoàn toàn bản chất hiện tượng phức tạp này.
Nhà triết học cổ La Mã và cũng là một thi sĩ Titus Lucretius Carus một thế kỷ trước công nguyên đã nói: ''Những điều nhỏ vạch ra con đường dẫn đến kết quả sẽ giúp hình thành sự hiểu biết về những điều lớn''.
''NHỮNG KẺ CHẠY TRỐN'' VÀ ''NHỮNG KẺ BỊ CẦM TÙ'' CỦA CÁC FRACTAL
Nếu nói về tính da dạng và kỳ lạ của fractal, thì: ''Khi một điểm ban đầu x0 chịu một phép biến đổi... thì dãy tiếp theo sẽ thể hiện hai kiểu động thái. Hoặc là điểm đó sẽ du hành tự do trong mặt phẳng rồi đi ra vô cực, hoặc điểm đó luôn nằm trong một vùng khép kín nhất định của mặt phẳng phức. Các điểm trước làm thành tập những ''kẻ chạy trốn'', còn các điểm sau luôn ở trong một không gian đóng kín thì làm thành tập của những ''kẻ bị cầm tù''. Điểm ban đầu x0 chọn trong tập của những ''kẻ bị cầm tù'' sẽ sinh ra một dãy, ''nô lệ'' về mặt số lượng, và điều này không phụ thuộc vào số thế hệ được tính của dãy. Dạng ''nhà tù'' này chỉ phụ thuộc vào tham số c đã chọn. Còn đối với các điểm x0 nằm ngoài vùng kín này thì dãy xk sẽ đi xa dần tâm mặt phẳng về phía vô cực. Hai tập những ''kẻ chạy trốn'' và những kẻ ''bị cầm tù'' được phân cách nhau bởi một biên vô cùng mỏng, biên này được gọi là “tập Julia”.
Trích từ bài báo: Ngôn ngữ fractal của các tác giả:
C. Urgence, C. - O. Peitgen và D. Zaupe.
