VỀ HIỆN TƯỢNG CÔNG HƯỞNG PHI TUYẾN TÍNH VÀ
VỀ SỰ HỖN ĐỘN ĐỘNG LỰC HỌC
Nếu dao động tử là tuyến tính thì khi tác động lên nó một ngoại lực tuần hoàn ta sẽ quan sát thấy một hiệu ứng duy nhất - đó là cộng hưởng tuyến tính: sự tiêu hao năng lượng càng ít thì đường cong cộng hưởng càng cao và càng nhọn. Điều gì sẽ thay đổi khi tần số phụ thuộc vào biên độ dao động? Giả sử tần số ngoại lực bằng tần số quay trên một trong những quỹ đạo pha gần tâm. Khi đó hệ nhận năng lượng từ nguồn bên ngoài và các dao động bé lúc đầu sẽ lớn dần lên. Điều đó có nghĩa là điểm mô tả điểm pha tựa như lần lượt dịch chuyển lên các quỹ đạo pha với năng lượng lớn hơn và ứng với chúng đã là tần số khác vì dao động tử không đẳng thời. Kết quả là hệ ra khỏi trạng thái cộng hưởng và bắt đầu từ một biên độ nào đó thì nó không còn chịu tác động của ngoại lực. Vậy nhờ sự dịch chuyển của tần số 
mà hệ ra khỏi trạng thái cộng hưởng.
Ở dao động tử tuyến tính thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra chỉ khi tần số gần với tần số riêng (
trong đó 
là số gia nhỏ), còn ở dao động tử phi tuyến tính thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra cả với tần số các sóng hài khác. Ví dụ, nếu tần số của dao động 
thì cộng hưởng có thể xảy ra với cả các tần số là bội số lần của tần số ngoại lực: 
Thậm chí ngoại lực có dạng sin cũng có khả năng gây ra những hiệu ứng khác thường ở dao động tử phi tuyến tính: động lực học đôi khi trở nên rất phức tạp giống như là ngẫu nhiên. Và người ta nói trong hệ xuất hiện chế độ ngẫu nhiên (hỗn độn) động lực học. Đó là cái gì?
Một trong những người phát hiện ra động lực học các hệ phi tuyến tính, nhà vật lý người Nga Boris Valerianovich Chirikov (sinh năm 1928) đã viết: “Thuật ngữ được đưa vào gần đây “sự hỗn độn (hoặc ngẫu nhiên) động lực học” (hay các từ ít nhiều đồng nghĩa được dùng rộng rãi: “động lực học ngẫu nhiên (hay hỗn độn)”, “sự hỗn độn tất định”, v.v…) còn làm nhiều người phân vân. Thực vậy, người ta thường hiểu động lực học là một quá trình tiến hóa tất định hoàn toàn của một hệ vật lý nào đó mà tất cả những gì xảy ra trước kia và sau này của nó đều được xác định bởi các phương trình chuyển động và các điều kiện ban đầu, các điều kiện ban đầu đó có thể lấy ở một thời điểm bất kỳ... Mặt khác, khái niệm ''hỗn độn'' ở đây rõ ràng làm người ta liên tưởng tới sự có mặt của một yếu tố ngẫu nhiên nào đó một sự bất định nào đó. Trong khi đó thì một quá trình tất định có thể đồng thời là ngẫu nhiên hay không? Một số những nghiên cứu vật lý, đặc biệt là toán học, trong những năm gần đây đã chứng tỏ rằng điều đó không chỉ là có thể, mà trong một số điều kiện xác định, là không thể khác được (ít nhất, trong trường hợp cơ học cổ điển chứ không phải chỉ cơ học lượng tử).
Để rõ ràng hơn có thể nói quá trình ngẫu nhiên hay hỗn độn là một dạng thái cực, nhưng dù sao vẫn là dạng riêng của chuyển động cổ điển tất định và chúng có thể được giải thích mà không cần đến những giả định thống kê nào. Và thuật ngữ “động lực học hỗn độn” (hay “sự hỗn độn động lực học”) thoạt nhìn có vẻ mâu thuẫn, thuộc vào đúng trường hợp này”.
Cần lưu ý rằng, đối với sự hỗn độn động lực học trong các hệ thống có sự tiêu tán thì điều cơ bản là tính không đẳng thời: Thực vậy, hiệu ứng tăng hay giảm năng lượng dao động do nhiễu loạn được xác định bởi pha của chúng. Pha phụ thuộc vào tần số mà tần số thì thay đổi dưới tác động của nhiễu loạn do tính không đẳng thời. Trong trường hợp cộng hưởng đơn độc thì đơn giản là hệ có thể ra khỏi cộng hưởng. Nhưng nếu có nhiều cộng hưởng (ít nhất là hạt) thì xuất hiện một bức tranh chuyển động rất phức tạp vì sự tương tác giữa chúng. Giả sử hệ nằm chính xác ở một trong các cộng hưởng. Dưới tác động của nhiễu loạn, hệ ra khỏi cộng hưởng và rơi vào miền cộng hưởng bên cạnh. Bây giờ, phụ thuộc vào pha của nhiễu loạn hệ hoặc chuyển động tiếp sang miền của cộng hưởng tiếp theo hoặc trở lại nơi cũ. Hiện tượng đó gọi là hiện tượng phủ cộng hưởng. Khi đó quỹ đạo chuyển động có dạng phức tạp (nói riêng là ngẫu nhiên).
Sự chuyển động được trung bình hoá của một hệ như vậy giống như dáng điệu của điện tử trong hố thế mà ta đã xét ở trên. Vài hố thế ứng với vài cộng hưởng. Hiện tượng phủ cộng hưởng là khả dĩ khi các hố thế đủ sát gần nhau, và khi đó hệ có thể nhảy từ hố này sang hố kia.
CHRISTIAAN HUYGENS VÀ NHỮNG CHIẾC ĐỒNG HỒ
Một ví dụ đơn giản nhất của hệ dao động tự động là chiếc đồng hồ cơ học mà Christiaan Huygens đã sáng chế ra. Tuy nhiên phải lưu ý rằng ngày 5 tháng 6 năm 1636 Galilei trong bức thư của mình gửi tới đô đốc Reale đã nhắc đến việc nối con lắc với máy đếm dao động. Năm 1641, một năm trước khi mất, Galilei đã thử thực hiện ý đồ của mình, song đối với một ông già mù lòa thì một bài toán phức tạp về mặt kỹ thuật như vậy là quá sức.
Huygens đã đưa ra nhiều thay đổi trong cấu trúc đồng hồ, mà cái chính nhất là sử dụng chu kỳ dao động của con lắc làm thước đo thời gian. Ngày 12 tháng 1 năm 1657 ông viết: ''Trong những ngày này tôi đã tìm ra cấu trúc mới của chiếc đồng hồ, nhờ nó có thể đo được thời gian một cách chính xác đến độ mà đã xuất hiện không ít hy vọng về khả năng đo kinh độ khi mang nó đi biển''. Ngày 16 tháng 6 năm 1657 Huygens đã được nhận bằng sáng chế về phát minh đồng hồ quả lắc của Vương quốc Hà Lan. Năm 1658 ra đời cuốn sách mỏng ''Đồng hồ quả lắc'', trong đó mô tả sự phát minh ra chiếc đồng hồ này. Trong chiếc đồng hồ của Huygens lần đầu tiên chính nguồn dao động xác định các thời điểm khi cần cấp năng lượng, tức là năng lượng được đưa tới mà chu kỳ dao động không bị vi phạm. Điều đó có thể thực hiện được nhờ một cái cá - một bộ phận đơn giản và thông minh với những chiếc răng nghiêng, đẩy con lắc một cách tuần hoàn.
Ngay từ khi chế tạo ra những chiếc đồng hồ đầu tiên Huygens đã hiểu ra rằng điều khẳng định của Galilei về sự đẳng thời của các dao động của con lắc toán học chỉ đúng đối với những độ lệch bé của nó. Huygens không hiểu vì sao Galilei lại bỏ qua tình tiết đó khi quan sát chiếc đèn chùm đung đưa trong nhà thờ. Nhưng như người bạn và học trò của Galilei là Vicenzo Viviani viết cho hoàng tử Leopold Medici, kể lại rằng Galilei, khi phát hiện tính đẳng thời và ''để tin chắc hơn vào sự tồn tại của nó'', ông đã làm điều sau đây: ''Ông buộc hai quả cầu bằng chì bằng hai sợi chỉ có chiều dài bằng nhau rồi kéo lệch chúng dưới các góc độ khác nhau, ví dụ một quả cầu ông kéo lệch một góc 300, còn quả cầu thứ hai ông kéo lệch một góc 100, rồi đồng thời ông thả chúng ra. Với sự giúp đỡ của một người bạn ông quan sát thấy rằng hai quả cầu dao động theo hai cung lớn nhỏ khác nhau, nhưng chúng thực hiện số dao động bằng nhau''. Trong những thí nghiệm của mình lẽ ra Galilei đã có thể thấy được vi phạm tính đẳng thời các dao động nếu ông kéo lệch những quả cầu đù chỉ đến 600.
Mặc dù giữa thế kỷ XVII công thức gần đúng để tính chu kỳ của con lắc với biên độ lớn
còn chưa được ai tìm thấy, song Huygens đã có được giá trị của chu kỳ chính xác một cách kỳ lạ. Cho đến nay người ta vẫn chưa biết được Huygens đã thực hiện những tính toán như thế nào.
