SOLITON PHÁT SINH NHƯ THẾ NÀO
Thuật ngữ “tán sắc” do Newton đưa ra đối với các sóng tuyến tính chỉ sự phụ thuộc của vận tốc truyền các sóng này vào bước sóng: . Sự tán sắc thể hiện trong các hiệu ứng vật lý như sự tan của các bó sóng, sự khác nhau của vận tốc pha và vận tốc nhóm, sự chuyển động không đều của các mặt đầu sóng v.v... Chính sự tán sắc các sóng đã buộc Schrodinger từ bỏ mô hình ''electron nhòe'', vì theo các tính toán thì nhóm sóng de Broglie tạo thành bó sóng có kích thước cỡ bán kính của electron sẽ tan sau khoảng thời gian giây.
Vấn đề với các sóng phi tuyến tính lại khác: vận tốc truyền của chúng phụ thuộc không chỉ vào bước sóng mà còn vào biên độ sóng. Khi tính phi tuyến tính yếu thì sóng có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các sóng hài với các tần số khác nhau và tương ứng với vận tốc các sóng hài khác nhau. Nhờ tính phi tuyến tính mà các sóng hài này có thể tương tác lẫn nhau. Khi mà cả sự tán sắc cũng yếu (các sóng hài không tách rời nhau ra một khoảng cách dễ nhận thấy), thì năng lượng sẽ chuyển từ các thành phần nhanh của sóng tới các thành phần chậm hơn. Trong trường hợp nếu việc chuyển năng lượng này bù trừ được sự biến dạng của sóng do tán sắc thì sẽ xuất hiện soliton.
Bây giờ ta sẽ minh họa sự hình thành soliton nói trên nhờ phương trình Korteweg-de Vries: Ta viết phương trình này dưới dạng:
Trong đó dấu chấm ký hiệu đạo hàm theo thời gian của hàm u(x,t) khi x giữ cố định, còn dấu phẩy là đạo hàm theo x tại thời điểm t cho trước. Ở đây là vận tốc của sóng ở nơi nước cạn, khi độ sâu h nhỏ hơn bước sóng một cách đáng kể; g là gia tốc rơi tự do. Nếu bỏ đi số hạng cuối cùng trong phương trình Korteweg-de Vries (nó ứng với sự tán sắc) thì ta sẽ có phương trình mà nghiệm chính xác của nó đã được nhà toán học người Đức tên là Georg Friedrich Bernhard Rtemann (1826 - 1866) tìm ra năm 1860 và ông đã công bố điều đó trong bài báo ''Về sự truyền các sóng phẳng có biên độ hữu hạn trong không khí''.
Trong phương trình Korteweg-de Vries khi không kể đến tán sắc thì có thể dễ dàng thấy được ảnh hưởng của sự tương tác phi tuyến tính (số hạng thứ ba của phương trình). Bây giờ ta chỉ xét một “con sóng”. Vận tốc mỗi một điểm của nó được xác định bằng công thức
Khi đó, đối với đỉnh của ''con sóng'' u = u0 ta sẽ có vận tốc lớn nhất:
Trong khi đó mặt đầu sóng phía trước của ''con sóng'' u = 0 chuyển động với vận tốc vo. Do hiệu các vận tốc mà phần trước của ''con sóng'' trở nên ngày càng dốc đúng theo mức độ sóng truyền, và đến một thời điểm nào đó sẽ xảy ra sự bổ nhào của mặt đầu sóng. Chính như vậy đã xuất hiện ví dụ những hạt trắng xóa trên những ngọn sóng biển. Riemann gọi nghiệm mà ông tìm được là “sóng xung kích” (vì trong không khí tại thời điểm mặt đầu sóng bổ nhào xảy ra sự đột biến của áp suất và mật độ), mặc dù ông nghi ngờ khả năng tìm thấy những sóng này. Như đã nói ở trên, Russell trước đây đã nhận thấy rằng người ta nghe thấy tiếng súng đại bác sớm hơn tiếng của người ra lệnh bắn.
Bây giờ nếu ta ''đưa sự'' tán sắc vào thì nó sẽ làm cho sự chuyển động của đỉnh ''con sóng'' chậm lại vì bước sóng hài của các sóng hài bậc cao lớn hơn bước sóng của sóng cơ bản (và khi cộng các sóng hài bậc cao sóng hài cơ bản có bước sóng bằng hai lần độ rộng của ''con sóng'' thì lại xuất hiện một con sóng có độ rộng hữu hạn). Vậy có hai hiệu ứng tranh đối nhau: tính phi tuyến thì làm tăng độ dốc của ''con sóng'', còn sự tán sắc thì lại trải rộng ''con sóng'' ra. Khi tính phi tuyến chiếm ưu thế thì ''con sóng'' tách ra thành vài sóng, còn khi sự tán sắc chiếm ưu thế thì “con sóng” tan dần đi. Còn khi hai hiệu ứng phi tuyến tính và tán sắc bù trừ lẫn nhau thì xuất hiện sóng đơn bền vững - đó là soliton.
