GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỀU CÓ THỂ DÙNG CÔNG THỨC Ư?
Rất nhiều người thích dùng công thức để giải phương trình, vì theo quy tắc giải, không cần suy nghĩ nhiều. Ví dụ, giải phương trình bậc 2 (ax2+bx+c=0) (a≠0), chỉ cần dùng công thức:
thì có thể rất dễ dàng giải căn của 2 số ra. Vì vậy, trong một thời kỳ lịch sử rất dài, việc tìm ra cách giải căn của của phương trình bậc 3. Cách giải của họ trước hết là phải chuyển phương trình bậc 3 thành phương trình bậc 2, sau đó giải ra kết quả thông qua phương trình bậc 2. Cách này, sau đó một lần nữa được chứng minh là đúng trong quá trình nhà toán học ý Ferrari tìm công thức giải phương trình bậc 4.
Phương trình bậc 2, 3, 4 đã đều có thể được giải bằng công thức, vậy phương trình bậc 5, 6 thậm chí bậc cao hơn chẳng phải cũng nên có công thức giải của mình hay sao? Các nhà toán học sau thế kỉ 17 chính là xuất phát từ nhận thức này, bắt đầu tìm kiếm công thức giải các phương trình từ bậc 5 trở lên.
Nhưng lạ ở chỗ, vào thế kỉ 16, Ferrari chỉ mới vẻn vẹn 20 tuổi, không tốn bao nhiêu thời gian thì đã tìm ra được công thức giải phương trình bậc 4, mà trong 2 thế kỉ 16, 17 có nhiều nhà toán học đến vậy, nghiên cứu một phương trình chỉ cao hơn có một bậc - phương trình bậc 5, mà vẫn cứ không tìm ra công thức giải.
Phương trình bậc 5 và từ bậc 5 trở lên rốt cuộc có thể dùng công thức để giải hay không? Vấn đề đã được đưa ra rồi. Năm 1824, nhà toán học 22 tuổỉ người Nauy Alber thông qua gần 4 năm cố gắng, cuối cùng đã chứng minh thành công: các phương trình bậc 5 thông thường không tồn tại công thức giải căn mà các phép toán khai căn, luỹ thừa, cộng trừ nhân chia của hệ số đã dựng lên. Từ đó, tiến trình tìm kiếm công thức giải căn cũng kết thúc.
Nhưng lí luận liên quan đến phương trình chưa dừng lại như vậy, vì kết luận của Alber không có nghĩa là nói rằng các phương trình từ bậc 5 trở lên không có công thức giải trên thực tế, phương trình từ bậc 5 có dạng đơn giản x5= N vẫn có thể giải quyết trực tiếp bằng công thức giải mà phép toán khai căn đã xây dựng. Thế là vấn đề lại tiến thêm một bước. Các nhà toán học đề xuất, những phương trình dạng nào có thể dùng công thức giải căn mà được xây dựng bởi phép toán khai căn luỹ thừa cộng trừ nhân chia giữa các hệ số để giải đây?
Vấn đề này rõ ràng là sâu sắc hơn vấn đề trước rồi.
Mùa xuân năm 1831, thêm một nhà toán học trẻ 20 tuổi người Pháp Galoa đã trả lời câu hỏi này bằng một hình thức vừa nhanh chóng rõ ràng lại triệt để. Ông có được kết luận: ''một phương trình trong tập hợp của các số của hệ số hàm chứa nó nếu như có thể giải tổng hợp, thì phương trình đó có thể dùng công thức đại số của. hệ số của nó để giải và chỉ trong điều kiện này phương trình mới được dùng để giải''. Đó chính là ''phép phân biệt Galoa'' mà thường nói trong toán học. Dùng “phép phân biệt Galoal” có thể dễ dàng chứng minh kết luận của Alber ''Phép phân biệt Galoa'' đưa ra khái niệm ''tổng hợp'', đã thúc đẩy nhanh chóng sự phát triển của toán học hiện đại, lí luận tổng hợp không những là tiêu chí của toán hiện đại, mà còn trở thành phương pháp cơ bản để giải các bài toán đại số.
