THẾ NÀO LÀ ĐỊNH LÝ TAM GIÁC VUÔNG?
Trong tác phẩm nổi tiếng ''Châu bể toán kinh'' của Trung Quốc thời cổ tập 1 có đoạn: ''ngắn 3, vừa 4, huyền 5''. Cái gọi là ngắn và vừa, là chỉ hai cạnh của tam giác vuông, còn huyền chỉ cạnh huyền. ''Ngắn 3, vừa 4, huyền 5'' là một dạng của định lý tam giác vuông. Cái gọi là định lý tam giác vuông, chính là diện tích của hình vuông trên cạnh huyền của tam giác vuông, bằng tổng diện tích hình vuông trên hai cạnh góc vuông. Định lý này ở một số nước gọi là định lý Pitago.
Ba cạnh của tam giác vuông, ngoài việc có thể là 3, 4, 5 còn có rất nhiều tình huống khác, ví dụ 5, 12, 13; 8, 15, 17,... Còn tập hợp số, cũng thoả mãn tập số nguyên dương (x, y, z) của phương trình x2+y2=z2 được gọi là tập hợp số tam giác vuông. Vì phương trình x2+y2=z2 có 3 số chưa biết, có vô số cách giải, nên phương trình này còn gọi là phương trình bất định. Rõ ràng, nếu (x, y, z) là một nhóm số tam giác vuông, vậy thì (kx, ky, kz) cũng là một nhóm số tam giác vuông. Ngược lại, nếu x, y có ước chung d, vậy thì d chắc chắn là ước của z. Cũng vì thế, ước chung của chúng chắc chắn bằng nhau. Vì vậy, thông thường chúng ta chỉ xem xét tình huống x, y, z hơn kém từng đôi một.
Vậy thì, giữa x, y, z có quan hệ như thế nào? Cũng có nghĩa là làm thế nào để tại ra một tập hợp số tam giác vuông?
Thế kỉ thứ 6 trước công nguyên, nhà toán học Hy Lạp Pitago đã đưa ra phương pháp: lấy một số lẻ bất kì, chia số bình phương của nó thành 2 số hơn kém nhau 1 đơn vị, 3 số này chính là một tập hợp số tam giác vuông. Cũng có nghĩa là, lấy ra 1 số lẻ 2x+l trước, rồi đem số bình phương của nó 4x2+4x+1 chia thành 2x2+2x và 2x2+2x+1, vậy 2x+1, 2x2+2x, 2x2+2x+1 chính là một tập hợp số tam giác vuông. Ví dụ 67, 2244, 2245.
Thế kỉ thứ nhất, trong ''thuật toán cửu chương'' có một phương pháp còn khéo léo hơn: nếu như cho 2 số m, n, thì 
(m2 - n2 ), mn, (m2 + n2 ) chính là một tập hợp số tam giác vuông. Ví dụ, khi m = 7, n = 3, thì ta có 20, 21,29; khi m=5, n=3 thì ta có 8, 15, 17. Thế kỉ thứ 3, nhà toán học Lưu Huy đã dùng phương pháp hình học chứng minh công thức đó.
Thế kỉ thứ 3, nhà toán học Hy Lạp Diufantu đã đưa ra công thức:
Nếu đặt 
, z = u2+v2, thì ta có 2uv, u2-v2, u2+v2.
Bạn đã nhìn ra chưa, công thức của nó và ''thuật toán cửu chương'' chỉ khác một hệ số 2; mà công thức của Pitago cũng chính là một tình huống đặc biệt của công thức này: u = z+1, v = z.
Vậy thì, tuỳ tiện cho 2 số m, n hoặc u, v dùng công thức trên, có phải là đều có thể tạo ra tất cả các tập hợp số tam giác vuông hơn kém từng đôi một không? Đương nhiên là không thể. Nhưng nếu ta đặt điều kiện cho m, n hoặc u, v có nghĩa là, nếu m, n là hai số lẻ hơn kém nhau 1. Vậy thì, dùng công thức của ''thuật toán cửu chương'', thì có thể tạo ra toàn bộ tập hợp số tam giác vuông hơn kém nhau từng đôi 1, vì thế, ta có thể gọi chúng là công thức thông hiểu của phương trình x2 + y2 = z2. Dĩ nhiên, đối với cùng một tập hợp số tam giác vuông, có thể dùng các công thức khác nhau để tìm giải.
Quan sát tỉ mỉ tập hợp số tam giác vuông, ta có thể phát hiện thấy: Chúng luôn luôn có quan hệ chẵn lẻ nhất định, cũng tức là 2 lẻ 1 chẵn. Trên thực tế, nếu x, y, z là một tập hợp số tam giác vuông hơn kém từng đôi một, vậy thì x, y nhất định là 1 chẵn 1 lẻ, z chắc chắn là lẻ. Vì sao lại thế? Bạn hãy tự chứng minh xem.
