Nội dung

THẾ NÀO GỌI LÀ TAM GIÁC GIẢ HIẾN?

Năm 1261, trong tác phẩm ''Cách giải của toán học 9 chương” của nhà toán học Dương Huy đời Tống - Trung Quốc đã dùng chữ số ghi lại một bảng chữ số theo hình tam giác. Do ông sử dụng phương pháp tính luỹ thừa nổi tiếng của Giả Hiến nên người ta gọi đó là 'Tam giác Giả Hiến''- Còn ở Châu Âu lại gọi là ''Tam giác Pascal'' vì nó do Pascal nghiên cứu ra năm 1654 (sau Giả Hiến 600 năm) (Hình dưới),

Chữ số trong bảng được liệt kê ra do kết quả của việc triển khai luỹ thừa của nhị thức a + b. Ví dụ:

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a+ b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³...

Căn cứ vào biểu đồ này, chúng ta có thể biết được:

(a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ +15a²b⁴ + 6ab⁶ + b⁶.

Hàng thứ nhất trong bảng trên cũng có ý nghĩa của nó, chỉ cần a + b≠0,

(a + b)⁰ = 1

Quan sát hình tam giác này, chúng ta có thể phát hiện ra quy luật sắp xếp của chúng: Các hàng dưới đều hơn hàng trên một chữ số, hai bên của hàng đều là số 1; các số hàng dưới đều ghi vào giữa hai chữ số của hàng trên và bằng tổng của hai số đó. Theo quy luật này, chúng ta có thể tiếp tục viết được các hàng tiếp theo tuỳ ý.

Vậy lúc đầu tam giác này được tạo ra như thế nào? Theo sử sách ghi chép lại, phương pháp của Giả Hiến là ''phương pháp cộng tăng''. Ví dụ cần lập một ''Tam giác Giả Hiến'' có 8 hàng, trước tiên cần tạo ra một bảng sau:

Bảng này được lập ra theo ba quy tắc sau:

(1) Hàng thứ nhất có 8 chữ số 1.

(2) Từ hàng thứ hai trở xuống, mỗi hàng ít hơn một chữ số về phía bên trái so với hàng trên.

(3) Chữ số của hàng dưới bằng tổng các chữ số của hàng trên cộng lại tính từ trái qua phải theo đúng số các chữ số ở hàng trên đến vị trí đối diện với số hàng dưới (trừ số cuối cùng bên trái). Ví dụ chữ số thứ tư của hàng thứ tư sẽ bằng tổng bốn chữ số tính từ trái qua phải của hàng thứ ba cộng lại: 1 + 3 + 6 + 10 = 20.

Khi đó, muốn được ''tam giác Giả Hiến'' có 8 hàng, ta chỉ cần xoay bảng trên theo chiều ngược kim đồng hồ một góc 45^o là được.