VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ
Trong lịch sử toán học, có thể thấy có bốn thời kì, khác nhau rõ ràng về chất. Các thời kì ấy rất khó phân chia rạch ròi, cái sau phát triển trong lòng cái trước, khiến có những giai đoạn chuyển tiếp dài khi mà các ý tưởng mới vừa sinh ra chưa trở thành chủ đạo trong bản thân toán học cũng như trong các ứng dụng của nó.
1. Thời kì "ra đời của toán học'' với tư cách một ngành khoa học độc lập. Nó bắt đầu từ mãi đâu trong chiều sâu của lịch sử và kéo dài đến khoảng thế kỉ 6-5 trước CN.
2. Thời kì của “Toán học sơ cấp”, toán học các đại lượng không đổi, kéo dài đến khoảng cuối thể kỉ 17, khi mà ngành toán học mới toán học ''cao cấp'' cũng đã phát triển khá sâu.
3. Thời kì của “toán học các đại lượng biến thiên", với sự ra đời và phát triển của giải tích toán học, sự nghiên cứu các quá trình trong sự vận động và phát triển của chúng.
4. Thời kì của “toán học hiện đại'' với nét đặc trưng là nghiên cứu có ý thức và có hệ thống các loại hình khả dĩ của các quan hệ định lượng và của các hình thể không gian. Hình học không chỉ nghiên cứu không gian ba chiều có thực, mà cả các hình thể không gian tương tự. Giải tích toán học xét các đại lượng ''biến thiên phụ thuộc” không chỉ một biến bằng số, mà cả một đường (hàm) nào đó; điều này đã đưa tới các khái niệm "phiến hàm'' và "toán tử''. “Đại số học” chuyển thành lí thuyết các phép tính đại số với các phần tử có bản chất bất kì, miễn là các phép tính ấy có thể thực hiện với chúng. Thời kì này của toán học bắt đầu từ nửa đầu thế kỷ 19.
Trong thế giới cổ đại, các kiến thức toán học trước hết là một phần không thể tách rời khỏi hiểu biết của các tín đồ tôn giáo và quan chức nhà nước. Khối lượng các kiến thức ấy xét theo các tấm đất sét Babilone đã được giải mã và các "chỉ thảo thư toán học'' Ai Cập - là khá to lớn. Có những tài liệu cho thấy hàng nghìn năm trước Pythagore, người ta không chỉ biết định lý II Pythagore và còn giải được bài toàn về mọi tam giác vuông có cạnh là các số nguyên. Nhưng phần quan trọng nhất của các tư liệu thời kì ấy chính là tuyển tập các quy tắc để thực hiện các phép tính số học đơn giản, và để tính diện tích các hình, thể tích các vật thể. Đến nay còn giữ được cả những bảng các loại giúp tiến hành các phép tính ấy một cách dễ dàng. Trong tất cả những tài liệu hướng dẫn ấy, các quy tắc không được phát biểu tường minh mà được làm sáng tỏ bằng các thí dụ riêng lẻ. Việc chuyển hoá toán học thành một khoa học hình thức, với phương pháp suy diễn làm nền, chỉ xảy ra ở Hi Lạp cổ đại. Tại đây, sáng tạo toán học không còn là một việc làm vô danh. ''Số học và hình học'' ứng dụng ở cổ Hi Lạp đã phát triển đến một trình độ cao. Bước đầu của hình học Hi Lạp gắn liền với tên tuổi của Thales (cuối thế kỉ 7, đầu thế kỉ 6 trước CN), người ta tiếp nhận những kiến thức đầu tiên từ Ai Cập. Trường phái Pythagore (thế kỉ thứ 6 trước CN ) nghiên cứu tính chia hết của các số, tính tổng các số đơn giản, khảo sát các số hoàn chỉnh, đưa ra xem xét các loại trung bình khác nhau (trung bình số học, trung bình hình học - tức trung bình cộng, trung bình nhân. ND (trung bình điều hoà), tìm ra các số Pythagore (bộ ba số nguyên có thể là số đo ba cạnh của tam giác vuông). Vào thế kỷ 6-5 trước CN, xuất hiện các bài toán nổi tiếng của thời cổ đại như "cầu phương hình tròn, chia ba góc, gấp đôi khối Lập phương'' và tìm ra các số vô tỉ đầu tiên. Cuốn sách giáo khoa có hệ thống về hình học đầu tiên là của Hippocrate (nửa sau thế kỉ 5 trước CN). Cũng thời gian này, trường phái Platon cũng đạt những thành tựu to lớn, có liên quan tới những cố gắng giải thích một cách hợp lí cấu trúc của vật chất và Vũ trụ - đó là các "khối đa diện đều''. Ở giao thời hai thế kỉ 5 và 4 trước CN, xuất phát từ quan điểm cấu tạo nguyên tử, Democrite đã đưa ra phương pháp xác định thể tích các vật thể. Phương pháp này có thể xem là nguyên mẫu của phương pháp các vô cùng bé. Ở thế kỉ nở rộ phong phú của sáng tạo toán học (một thế kỉ được gọi là thời đại Alexandrie). Đó là thời đại của các nhà toán học Euclide, Archimède, Apolloniusl Euratosthène, và sau một ít là Heron (thế kỉ 1 sau CN), Dtophante (thế kỷ 3). Trong cuốn “Các nguyên lí'' của mình, Euclide đã thâu tóm và chỉnh lí hoàn chỉnh về mặt logic các thành tựu về hình học lúc bấy giờ, đồng thời đặt nền móng cho lí thuyết số. Công to lớn của Euclide trong hình học là đưa ra cách xác định nhiều loại diện tích và thể tích (trong đó có diện tích hình viên phân parapol, diện tích mặt cầu, thể tích hình viên phân khối cầu và parabol). Diophante chủ yếu nghiên cứu cách giải các phương trình của Hipparkhos, Menélaus và Ptolemai. Từ thế kỉ 3 là một thời kì suy thoái của nền toán học Hi Lạp.
Toán học ở Trung Hoa và Ấn Độ cổ đại cũng đạt trình độ phát triển cao. Các nhà toán học cổ Trung Hoa nêu ra kĩ thuật cao trong việc thực hiện các phép tính và quan tâm tới sự phát triển các phương pháp đại số tổng quát. Trong các thế kỉ 2-3 trước CN họ đã biên soạn cuốn ''Toán học chín tập''. Trong cuốn sách ấy, nói riêng, có cả các cách khai căn bậc hai mà ngày nay còn được trình bày trong các trường học, các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính, cách phát biểu số học của định lí Pythagore. To Xung Chi (thế kỉ 5) tìm được trị số Л gần đúng bằng 355/113 với 7 chữ số đáng tin cậy. Các nhà toán học cổ Trung Hoa đạt trình độ nghệ thuật đặc biệt cao trong việc giải bằng số các phương trình.
Nếu toán học Ấn Độ, phát triển trong các thế kỉ 5-12, đã có công đóng góp cho việc sử dụng hệ đếm thập phân hiện đại và dùng kí hiệu zero (số không) ở những hàng khuyết. Các nhà toán học Ấn Độ có công còn lớn hơn Diophante, trong sự phát triển của đại số học, thao tác không chỉ với các số hữu tỉ dương, mà còn với các số âm và vô tỉ.
Các cuộc xâm chiếm của Ảrập làm cho các nhà bác học, từ Trung á đến bán đảo Ibérique, đều sử dụng ngôn ngữ Ảrập, từ thế kỉ 9 đến thế kỉ 15. Sự trao đổi hàng hoá được tăng cường giữa các phần lãnh thổ Ảrập khác nhau, và trong một số trường hợp, cả sự ủng hộ của chính quyền đối với sự nghiệp khoa học, đã dẫn tới sự phát triển mạnh mẽ của khoa học. Ở thế kỉ 9, nhà bác học Trung á AI Khwarizmi tần đầu tiên trình bày đại số học như một ngành khoa học độc lập. Ali Battani, người Syrie (thế kỉ 9 - 10) khảo sát các hàm lượng giác sin, tang và cotang. Nhà bác học Azecbaidjan. Nasireddin Tusi (thế kỉ 13) phát triển rộng rãi môn lượng giác cầu, phân tích sâu sắc tiên đề thứ năm của Euclide (tiên đề về đường song song). Nhà bác học người Samarkand (vùng đất thuộc Uzbekistan - ND). AI Kasi (thế kỉ 15) phân tích các phân số thập phân và đưa ra cách trình bày hệ thống về chúng, phát biểu công thức của nhị thức Newton, tính số Л với 17 chữ số thập phân đáng tin cậy, đề nghị cách giải bằng số các phương trình dùng phương pháp tính lặp rất hoàn chỉnh.
Thời kì từ thế kỉ 12 đến 19 ở châu Âu chủ yếu là giai đoạn tiếp thu các thành tựu mà thế giới cổ đại và phương Đông đã đạt được. Các nhà giàu và tầng lớp tư sản, phát triển nhờ buôn bán, có ý thức nhanh chóng về sự cần thiết của các hiểu biết toán học. Việc in ấn cũng tạo điều kiện truyền bá các kiến thức toán học và phát triển các cuộc tranh cãi khoa học. Đến thế kỉ 16, giai đoạn tiếp thu kiến thức đã hoàn tất và bắt đầu thời kì phát triển sáng tạo. Ở thế kỉ 16, các nhà bác học ý Ferro, Tartaglia, Ferrari tìm ra nghiệm của phương trình bậc ba và bậc bốn tổng quát. Nhà bác học Ý Cardano đề xuất các phương pháp giải gần đúng phương trình bậc bất kì, công nhận lợi thế của các phép tính với số phức. Nhà bác học Pháp Viète phát hiện mối liên hệ giữa các hệ số và các nghiệm của phương trình đại số, xây dựng hệ thống kí hiệu bằng chữ hiện đại. Nhà bác học Flamand Stevin đưa vào sử dụng phân số thập phân (độc lập với Ali Kasi).
Thời kì thật sự mới trong phát triển của toán học, làm biến đổi nội dung và tính chất của nó, bắt đầu ở thế kỉ 17 lúc mà ý tưởng chuyển động và biến thiên thâm nhập rõ ràng vào toán học. Việc khảo sát các đại lượng biến thiên và mối liên hệ giữa chúng đã dẫn đến các khái niệm hàm, đạo hàm và tích phân, đưa tới sự ra đời của một bộ môn toán học mới - giải tích toán học. Việc đưa vào sử dụng có hệ thống các toạ độ cung cấp một phương pháp tuyệt vời để chuyển các bài toán hình học ra ngôn ngữ của đại số và giải tích, từ đó ra đời các nhánh hình học mới – “hình học giải tích, hình học vi phân''. Sự xuất hiện các khoa học toán học mới là một quá trình dài. Thật vậy, các công trình của các nhà bác học Anh Newton và nhà bác học Đức Leinbniz kế thừa các nghiên cứu của nhà bác học Hà Lan Huygens, nhà bác học Đức Kepler, nhà bác học Ý Cavaleiri, các nhà bác học Pháp Fermat, Pascal, v.v. . trong đó đã có các yếu tố của các phép tính vi phân và tích phân. Sự phát triển về sau của giải tích toán học còn kéo dài suốt thế kỉ 18 và 19 với công sức của nhiều nhà bác học khác (các nhà bác học Thụy Sĩ Jakov và Johann Bernouili, nhà bác học Nga Euler, các nhà bác học Pháp Lagrange, Laplace, Cauchy, Fourrier, nhà bác học Đức Gauss, các nhà bác học Nga Ostrogradski, Trebưschev và nhiều nhà bác học khác). Các phương pháp của giải tích toán học đặc biệt là phương trình vi phân, trở thành cơ sở để miêu tả toán học các định luật của cơ học và vật lí học, cũng như các quá trình kĩ thuật. Chúng gắn liền với những tiến bộ khoa học tự nhiên và trong kĩ thuật. Do ảnh hưởng của giải tích toán học, có thêm nhiều lĩnh vực mới trong các bộ môn liên ngành như cơ học giải tích, toán lí v.v. . . "Phép tính biến phân'' có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tuy vậy, ngoài sự lớn mạnh về mặt số lượng ấy, người ta còn thấy nhiều nét mới trong sự phát triển của toán học cuối thế kỉ 18, đầu thế kỉ 19. Tiêu biểu nhất là sự quan tâm xem xét lại với tinh thần phê phán sâu sắc hàng loạt các vấn đề về cơ sở của toán học. Trước hết, đó là các phần mới của toán học. Thay cho các hình dung mù mờ về các vô cùng bé, người ta đã đưa ra các cách phát biểu chính xác liên quan tới khái niệm “giới hạn” (Cauchy, Weierstrass). Nhiều sự kiện trước đây coi là hiển nhiên thì giờ đây được chứng minh chặt chẽ. Điều này đòi hỏi phải tạo ra lí thuyết các số vô tỉ, phải khảo sát các hàm độc lập với cách định nghĩa giải tích của chúng,v.v. . . Về sau, các nghiên cứu về cơ sở của giải tích toán học đã đưa tới sự ra đời các lĩnh vực toán học mới như “lí thuyết tập hợp'' (nhà bác học Đức Cantor) và “lí thuyết hàm''.
Việc khảo sát sâu các khái niệm cơ bản trong hình học cũng được tiến hành song song. Ở đây, các sự kiện lớn trong chừng mực đáng kể - đặt nền móng cho những bước tiến dài về mặt nhận thức cấu trúc toàn bộ của toán học, là các nhà nghiên cứu của nhà bác học Nga Lobashevski và của nhà bác học Hunggari Bolyai về hình học phi Euclide. Các nhà nghiên cứu cơ sở của hình học về sau đã dẫn đến cách phát biểu về danh sách đầy đủ các tiêu đề của hình học do nhà bác học Đức Hilbert đưa ra. Nhà bác học Đức Riemann đề xuất khái niệm tổng quát về không gian mà các phần tử có thể là những vật thể bản chất bất kì: Ông cũng chỉ ra con đường ứng dụng các phương pháp của hình học vi phân, phát triển trong thế kỉ 9, để nghiên cứu các không gian ấy (các nghiên cứu này có ứng dụng trong thuyết tương đối ở thế kỉ 20). Thúc đẩy bởi thành tựu của các hình học phi Euclide, việc khảo sát các tính chất khái quát nhất của các hình và không gian hình học đã dẫn tới một lĩnh vực toán học mới - “tôpô học'' (Riemann và Poincaré).
Đại số học ở thế kỉ 19 đã làm sáng tỏ được khả năng giải các phương trình đại số bằng căn thức (nhà bác học NaUy Abel và nhà bác học Pháo Galois). Song song với điều trên, các tính chất chung nhất của các phép tính đại số cũng được nghiên cứu chi tiết và từ đó hình thành một nhánh mới của đại số học vào thế kỉ 20: Đại số học trừu tượng hay đại số học tổng quát. Các khái niệm nhóm, vành, trường đưa ra xem xét lúc bấy giờ, đã tìm thấy ứng dụng trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của toán học và khoa học khác.
Trong thế kỉ 19, phạm vi ứng dụng của giải tích toán học cũng được mở rộng ra nhiều. Lí thuyết phương trình vi phân, đặc biệt là phương trình vi phân đạo hàm riêng, được phát triển mạnh và dùng làm công cụ cơ bản trong nhiều lĩnh vực - vừa xuất hiện trong thế kỉ 19 của cơ học (cơ học các môi trường liên tục, xạ kích học) và của vật lí học (điện động lực học, lí thuyết từ, nhiệt động lực học). Ở thế kỉ 18, chỉ giải được những phương trình riêng lẻ thuộc loại ấy mà thôi. Các phương pháp tổng quát chỉ phát triển vào thế kỉ 19 và còn kéo dài tới ngày nay cùng với những bài toán đặt ra cho vật lí và cơ học.
Khi giải nhiều bài toán, cần xem xét không chỉ hàm biến thực, mà cả hàm biến phức. Lí thuyết về những hàm này được xây dựng ở thế kỉ 19 - với các tên tuổi Cauchy, Gauss, Riemann và Weierstrass - và tìm thấy ứng dụng trong khí và thuỷ động lực học.
Trên mảnh đất phát triển của giải tích và toán lí kết hợp với những ý tưởng mới trong hình học và đại số, xuất hiện một lĩnh vực mới bao la của toán học – “giải tích phiếm hàm '' - một lĩnh vực đóng vai trò cực kì quan trọng trong bản thân toán học, cũng như các ứng dụng của nó.
Bổ sung đáng kể cho những phương pháp nghiên cứu tự nhiên và giải quyết các vấn đề kĩ thuật đã nêu là các phương pháp của lí thuyết xác suất. Lí thuyết xác suất sơ khởi (thế kỉ 17) nảy sinh từ việc xem xét một vài ba bài toán về các trò chơi hú hoạ. Nhưng sự phát triển của vật lí thống kê, và các phương pháp thống kê trong nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau, đã đặt lí thuyết xác suất trước hàng loạt bài toán mới. Việc giải các bài toán này dẫn tới sự phát triển vũ bão của lí thuyết xác suất vào thế kỉ 19 - 20 với các tên tuổi Laplace, Poisson, Trebưsev, Markov, Lyapunov, Khinsin, Kolmogorov.
Suốt hai thế kỉ 19, 20, các lĩnh vực cũ hơn của toán học tiếp tục phát triển phong phú nhờ những ý tưởng mới về nguyên tắc và những thành tựu khác. Chẳng hạn, các phương pháp của giải tích toán học đưa áp dụng vào lí thuyết số (Dirichlet, Vinogradov) đã cho phép giải nhiều bài toán mà không giải được bằng các phương pháp sơ cấp.
Các kết quả nghiên cứu bằng lí thuyết toán học cuối cùng phải là câu trả lời thực tiễn cho bài toán đặt ra bằng những con số cụ thể. Do đó, trong các thế kỉ 19, 20, các phương pháp tính của toán học phát triển thành một ngành độc lập - toán học tính toán. Trong kĩ thuật tính toán mới đã vận dụng ''logic toán học'' - một bộ môn của toán học phát triển ở thế kỉ 19, 20.
