“HÀN TÍN ĐIỂM BINH'' LÀ GÌ?
''Hàn Tín điểm binh'' là một trò chơi đoán số thú vị, nếu bạn lấy một nắm quân cờ bất kỳ (số lượng khoảng 100 hạt), cứ đếm 3 quân một, đến khi chưa đủ 3 quân cờ thì ghi lại số dư; Tiếp đó lại đếm 5 quân một, khi không đủ 5 quân thì ghi lại số dư; cuối cùng đếm 7 quân một, và cũng chỉ ghi lại số dư. Sau đó căn cứ vào số dư của mỗi lần, thì có thể biết được tổng số quân cờ bạn lấy ban đầu là bao nhiêu.
Ví dụ: đếm 3 dư 1, đếm 5 dư 2, đếm 7 dư 2, vậy số quân cờ ban đầu là bao nhiêu?
Cách tính của nó thực ra rất đơn giản, hơn nữa từ thời cổ đại Trung Quốc đã có rồi. Chu Mật thời Tống gọi nó là ''Quỷ cốc toán'' hoặc ''cách tường toán''; Dương Huy gọi nó là Tiễn Quản Thuật, còn ''Hàn Tín điểm binh'' là một tên gọi tương đối thông dụng. Còn về cách tính của nó, trong ''Tôn Tử toán kinh'' đã sớm nói rõ rồi, sau đó được nhà toán học thời Tống - Tần Cửu Thiều nhân rộng, lại phát hiện ra một cách tính mới gọi là ''Đại Hàm cầu nhất thuật''. Đây chính là ''Định lý thừa của Tôn Tử'' hoặc ''định lý thừa của Trung Quốc'' mà quốc tế đã gọi, là vấn đề rất nổi tiếng trong lịch sử toán học.
Vậy rốt cục thì tính như thế nào? Nó có thể biểu đạt một cách đơn giản bằng hình thức được đây.
a x 70 + b x 21 + c x 15 - 105
Trong đó a, b, c lần lượt là số dư của các lượt đếm ba lần một, năm lần một và bảy lần một. Nếu số có được vẫn lớn hơn 105 thì lại trừ đi 105, cho đến khi nhỏ hơn 105 thì thôi. Do đó, bạn có thể dễ dàng biết rằng đáp án của câu hỏi trên là: 1 x 70 + 2 x 21 + 2x15 - 105 = 37 hạt.
Vậy trong ''Hàn Tín điểm binh'' tại sao cần đếm ba hạt một lần, năm hạt một lần, bảy hạt một lần? Dùng cách đếm với số lượng khác có được không? Muốn trả lời câu hỏi này, trước tiên chúng ta hãy nghiên cứu cách giải ''70a + 21b + 15c - 105'' của vấn đề ''Hàn Tín điểm binh''.
Trước tiên chúng ta hãy xem bốn số 70, 21, 15, 105 và mối quan hệ giữa 3, 5 và 7.
(1): 70 = 2 x 5 + 7, 70 = 3 x 23 + 1, cho nên 70 là một bội số chung của 5 và 7, sau khi chia cho 3 số dư là 1.
(2): Cũng như vậy, 21 là một bội số chung của 3 và 7, sau khi chia cho 5 thì dư 1.
(3): 15 là một bội số chung của 3 và 5, sau khi chia cho 7 thì dư 1.
(4): 105= 3 x 5 x 7 là bội số chung nhỏ nhất của 3,5, 7
Căn cứ theo những quan hệ trên đây ''70a + 21b + 15c - 105'' quả đúng là số cần tìm. Lý do là vì:
70a + 21b + 15c - 105 = (3 x 23 +1) x 1+ (3 x 7 x 2)+ (3 x 5 x 2) - (3 x 5 x 7)
= 3 x 23 x 1 + 1 x 1 + 3 x 7 x 2 + 3 x 5 x 2 - 3x 5 x 7
= 3 x (23 x 1 + 7 x 2 + 5 x 2 - 5 x 7) + 1
Cho nên số dư của 70a + 21b +15c - 105 là i. Theo nguyên lý tương tự, số dư của số này khi chia cho 5 là 2, số dư khi chia cho 7 là 2.
Vậy tạo sao trong ''Hàn Tín điểm binh'' phải dùng ba số 3, 5, 7? Chúng ta đều biết rằng ước số chung lớn nhất của hai số bất kỳ nào trong các số 3, 5, 7 đều là 1, cũng tức là giống nhau theo từng cặp. Và thế là có thể tìm được một số như thế này, là bội số chung của hai số trong 3, 5, 7 mà khi bị một số khác chia thì số dư là 1, giống như 70, 21, 15. Đây cũng chính là yêu cầu đem một lần ba hạt trong ''Hàn Tín điểm binh''.
Vậy nếu không phải là số tố nhau theo từng cặp thì có phải là không tìm được số giống như 70, 21, 15 không? Ví dụ ba số 4, 6, 7; 4 và 6 không phải là tố nhau, ước số chung lớn nhất của chúng là 2. Mà bất kỳ một bội số chung nào của 6 và 7 đều là số chẵn, số dư sau khi bị số chẵn 4 chia nhất định cũng là số chẵn, mà không thể là 1, cho nên không tìm được cách đếm ba lần tương đương 70, 21, 15. Do đó, trong ''Hàn Tín điểm binh'' không dùng được.
Chúng ta cũng có thể không dùng ba số 3, 5, 7 mà đổi thành số có hai cặp số tố nhau khác như 2, 3, 11. Cách tính lúc này là ''33a + 22b + 12c - 66''.
Nếu không tin bạn có thể dùng ví dụ ở đoạn văn trên để thử lại một lần nữa, xem xem kết quả có phải vẫn là 37 quân cờ không?
