Tài liệu

BKTT Phổ thông, 1001 Giải đáp tuyệt vời về khoa học, Toán học

Tại sao trong n+1 số tự nhiên khác nhau với các số lớn nhỏ không vượt quá 2n nhất định phải có hai số là nguyên tố cùng nhau?

Nội dung

TẠI SAO TRONG N+ 1 SỐ TỰ NHIÊN KHÁC NHAU VỚI CÁC SỐ

LỚN NHỎ KHÔNG  VƯỢT QUÁ 2N NHẤT ĐỊNH PHẢI

CÓ HAI SỐ LÀ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU?

 

Mùa hè năm 1959, Paule Artexi đã dùng mệnh đề ''Tại sao trong n+1 số tự nhiên khác nhau với các số lớn nhỏ không vượt quá 2n, nhất định phải có hai số là nguyên tố cùng nhau?'' để kiểm tra nhà toán học người Hungari- Lui Posa lúc đó mới 12 tuổi. Paule Artexi là Viện sĩ Viện khoa học Hungari, ông là một trong những nhà toán học có nhiều ''tài sản'' nhất thế giới và cũng là một cố vấn học thuật của tạp chí ''Nghiên cứu và bình luận về toán học'' của Trung Quốc. Lúc đó Posa chỉ nghĩ khoảng nửa phút liền trả lời ngay, khiến Aterxi rất khâm phục.

Câu trả lời của cậu bé Posa là như thế này: trong số các số tự nhiên n+1 với các số lớn nhỏ không vượt quá 2n, nhất định có 2 số ở kề nhau mà hai số ở kề nhau này lại tố nhau.

Chúng ta rất dễ biết rằng hai số tự nhiên ở kề nhau nhất định là nguyên tố cùng nhau: nếu p là ước số chung của hai số ở kề nhau, thì p nhất định là ước số chung nhỏ hơn 1 so với chúng, từ đó suy ra p = 1. Nhưng tại sao trong n+1 các số tự nhiên khác nhau, với các số lớn nhỏ không vượt quá án, nhất định có hai số ở kề nhau? Đó là vì trong tập hợp do các số tự nhiên tạo nên, đòi hỏi tất cả các nguyên tố trong đó đều nhỏ hơn hoặc bằng 2n, hơn nữa không có bất cứ hai số nào ở kề nhau cả, tập hợp các số tự nhiên thoả mãn điều kiện này, trong đó các số nguyên tố nhiều nhất là n số. Đây chính là tập hợp các số tự nhiên {1,3,5,.., 2n+ 1} hoặc {2, 4, 6, ... 2n}. Trong tập hợp này, nếu muốn thêm vào một số nữa tức là có n+1 số thì nhất định sẽ có hai số ở kề nhau.

Posa vào năm 15 tuổi lại một lần nữa thể hiện tài năng toán học tuyệt vời của mình. Ông đã viết một bài luận văn đưa ra một định lý mới để nhận định một bức tranh là tranh Hamilton.

Cho đến này vẫn còn viết trong các cuốn sách luận tranh, rất có ảnh hưởng trên thế giới.