ĐÔI ĐIỀU LÝ THÚ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó như các số 2, 3, 5, 7, 11 v.v. . . Các số tự nhiên ngoài số 1 và chính nó, còn chia hết cho các số khác, người ta gọi đó là các hợp số. Số l không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số. Người ta chia các số tự nhiên thành ba loại: số 1, số nguyên tố và hợp số. Mỗi một hợp số cũng có thể biểu diễn thành một tích các số tự nhiên và là những viên gạch tạo nên số tự nhiên.
Trong dãy số tự nhiên các số nào là số nguyên tố?
Từ hơn 300 năm trước công nguyên, một học giả cổ Hy Lạp là Ơratôtsten đã đưa ra một phương pháp: Ông lấy tờ giấy viết lên đó các số tự nhiên rồi đem dán lên tủ, sau đó ông khoét bỏ dần các hợp số cuối cùng ông có một vật giống như một cái sàng, trong đó các hợp số như vậy bị sàng bỏ đi mất. Vậy Ơratôtsten đã thực hiện việc ''sàng'' như thế nào? Ông đã viết vào đó các số tự nhiên từ 1 đến 50, sau đó cắt bỏ số 1, để lại số 2, rồi cắt bỏ các số là bội của 2, sau đó để lại số 3, rồi lại cắt bỏ các bội của 3, rồi để lại số 5. Ông lại cắt bỏ các số là bội của 5, v.v. . và cứ thế cho đến hết số 50 và sẽ được các số nguyên tố trong 50 số tự nhiên đầu tiên.
Đó là ''cái sàng'' nổi tiếng để chọn số nguyên tố.
Dựa vào phương pháp sàng này có thể loại bỏ được hết các hợp số hay không? và số các số nguyên tố có phải hữu hạn không? Vào khoảng năm 275 trước công nguyên, nhà toán học nổi tiếng cổ Hy Lạp là Ơclít đã tìm ra phương pháp kỳ diệu chứng minh là số các số nguyên tố là vô hạn.
Nhiều số nguyên tố có hình thức và tính chất lôi cuốn người ta, ví như số nguyên tố ngược: số nguyên tố thuận khi đọc ngược lại được một số nguyên tố như số 1949 với 9491, số 3011 và 1103, 1453 với 3541 v.v. . .Các số nguyên tố ngược với các chữ số không lặp lại ví dụ 13 và 3l, 17 và 71; 37 và 73; 79 và 97; 107 và 701 v.v...
Số nguyên tố tuần hoàn giảm và tuần hoàn tăng: Theo 1-9 và 9 số theo thứ tự ngược lại nối tiếp ngược lại thành một số nguyên tố như 19 và 91 (9 tiếp liền theo thứ tự ngược). Như các số 43, 1987, 76543. Số nguyên tố có 28 chữ số là số 123456789123456789123456789l.
Có một số số nguyên tố tạo thành hết sức đặc thù như: 31, 331, 3331, 3331, 333331, 3333331, cho đến số 33333331 đều là số nguyên tố nhưng số 333333381 = 17 x 19607848 lại là một hợp số. Đặc biệt nó được tạo thành do sự tổ hợp của các số nguyên tố. Lại lấy liên tục nhiều số 1 để tạo thành các số nguyên tố Rn , R1 và R2 = 11, là số nguyên tố, sau này người ta lại phát hiện các số R19, R23, R317 là các số nguyên tố.
Nghiên cứu về số nguyên tố là một đề tài cổ xưa của lý thuyết số và cũng là bộ phận rất cơ bản của lý thuyết này, trong đó có những vấn đề mới nhìn qua trông thật giản đơn nhưng lại là nhiều vấn đề khó phải giải quyết hàng mấy chục năm đến mấy trăm năm. Cho đến nay nhiều vấn đề vẫn còn chưa được giải quyết chẳng hạn giả thuyết Golbach sau đây.
Giả thuyết Golbach
Không kể số lớn đến bao nhiêu, khi kiểm nghiệm đều có thể thấy: với các số chẵn từ số 4 trở đi đều có thể biểu diễn bằng tổng hai số nguyên tố, với các số lẻ từ số 7 trở đi bằng tổng 3 số nguyên tố.
Chẳng hạn:
6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3;
10 = 5 + 5;. . .
1000 = 97 + 3; l02 = 97 + 5.
9 = 3 + 3 + 3; 11 = 5 + 3 + 3;
99 = 89 + 7 + 3;
101 = 89 + 7 + 5;
Hai kết luận trên có đúng với bất kỳ số chẵn hoặc số lẻ nào không? Ngày 7 -6 - 1742 nhà toán học Đức Golbach đã viết thư cho Ơle nêu ra vấn đề trên đây. Ngày 30-6 năm đó Ơle đã viết thư trả lời cho Golbach. Ông viết: “Số chẵn bất kỳ tính từ số 4 trở đi đều là tổng của hai số nguyên tố, tuy nhiên tôi chưa chứng minh được điều đó, mặc dù tôi không nghi ngờ gì về điều đó, tôi cho rằng giả thuyết hoàn toàn chính xác”. Ơle là nhà toán học vĩ đại thời bấy giờ, nên niềm tin của ông lôi cuốn nhiều nhà toán học thử chứng minh giả thuyết đưa ra, nhưng cho đến cuối thế kỷ XIX vẫn chưa có tiến triển gì.
Phương pháp giải quyết vấn đề là phải kiểm nghiệm từng số tự nhiên. Thế nhưng các số tự nhiên nhiều vô hạn, cho nên dù đã kiểm nghiệm được số lớn đến bao nhiêu đi nữa thì cũng chưa thể kết luận mệnh đề vẫn đúng với các số còn lại chưa được kiểm nghiệm. Trên thực tế đã có người kiểm nghiệm đến số 3,3 x 108 nhưng cũng không giải quyết được vấn đề. Vì vậy có nhà toán học nổi tiếng đã nói mức độ khó của giả thuyết Gôn bách không thua bất kỳ một bài toán khó nào của toán học còn chưa có lời giải.
Để nhận được viên ngọc sáng này đòi hỏi các nhà toán học phải tốn nhiều tâm lực. Vào năm 1937 một nhà toán học lớn Liên Xô Viện sĩ Vinôgrađôp đã giải quyết trọn vẹn giả thuyết này của Gôn bách.
