BÀI TOÁN KHÓ CỦA THẦN MẶT TRỜI. TỦ THỜ CÓ THỂ TÍCH GẤP ĐÔI.
Theo truyền thuyết vào thế kỷ thứ tư trước công nguyên, thành Aten thuộc cổ Hy Lạp lan truyền dữ dội một bệnh dịch. Nhằm tiêu từ bệnh dịch, nhân dân thành men đã cầu thần Mặt Trời (còn gọi là thần Apôlô N.D.) cứu giúp. Thần nói: ''muốn dập tắt được bệnh dịch thì phải tăng thể tích bệ thờ ở trước điện lên gấp đôi''. Điều này khiến nhân dân Aten hất sức vui mừng vì cho đó là điểu dễ đáp ứng: Họ tăng cạnh của bệ thờ cũ lên gấp đôi nhằm làm một bệ thờ mới có thể tích gấp đôi. Thế nhưng bệnh dịch lại càng hoành hành dữ dội. Bấy giờ người Aten mới tìm hỏi thần Mặt trời, và họ mới biết thể tích bệ thờ mới không phải gấp đôi thể tích bệ thờ cũ. Mọi người bấy giờ mới thấy chỗ khó không khắc phục nổi ngay cả học giả nổi danh thời bấy giờ là Platông cũng đành bó tay. Đó là bài toán hình học ''Khối lập phương có thể tích gấp đôi'' nổi tiếng. Dùng ngôn ngữ toán học ta có thể trình bày bài toán như sau: “Dựng một khối lập phương có thể tích gấp đôi một khối lập phương cho trước”. Đây là bài toán cùng với các bài toán: chia một góc thành ba góc bằng nhau; dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước làm thành ba bài toán khó trong toán học sơ cấp trong phép dựng hình không giải được.
Sở dĩ bài toán dựng khối lập phương có thể tích gấp đôi khối lập phương cho trước là khó vì trong phép dựng hình hạn chế chỉ được dùng dụng cụ là thước và compa. Đó là yêu cầu về giải các bài toán dựng hình thời cổ Hy Lạp. Trong “Cơ sở hình học” Ơclit đã chỉ ra rằng: Trong phép dựng hình chỉ được phép sử dụng thước và compa. Thước phải không chia độ, chỉ dùng để ''kẻ một đường thẳng qua hai điểm, hay kéo dài một đoạn thẳng cho trước''. Com pa chỉ dùng để vẽ các cung tròn. Trong bấy kỳ bài toán dựng hình nào cũng chỉ được sử dụng số lần hữu hạn thước và compa. Qui định này văn còn có hiệu lực cho đến ngày nay; Việc dùng thước và compa trong dựng hình chỉ để thực hiện ba công việc chính sau đây: Vẽ đường thẳng, vẽ đường tròn, tính giao điểm. Chỉ khi dùng thước và compa sau khi qua một số bước hữu hạn thực hiện ba thao tác cơ bản nói trên để vẽ hình, nếu không thì không thể xem là đã thực hiện bài toán dựng hình. Bài toán dựng khối lập phương có thể tích gấp đôi cung nằm trong phạm vi đó. Giả sử khối lập phương có cạnh bằng một đơn vị dài, thì thể tích khối lập phương sẽ bằng 13 - 1. Theo yêu cầu ta phải dựng khối lập phương cho thể tích gấp đôi vậy cạnh của khối lập phương mới phải bằng nên không thể dùng thước và compa để giải quyết được bài toán.
Thế nhưng nếu dùng thước có chia độ thì có thể giải quyết được bài toán. Sau đây là cách giải bài toán theo phương pháp đồ thị.
Giả sử khối lập phương cho trước có cạnh a, ta tìm các tỷ lệ giữa các số x và y, giữa a và 2a. Ta có:
. Từ đó được x2 = ay, y2 = 2ax. Khử y ta tìm thấy x3 = 2a3.
Vì vậy nếu tìm giao điểm của hai đường x2 = ay và y2 = 2ax thì hoành độ của giao điểm cho ta cạnh của khối lập phượng cần tìm.
Đó là lời giải của nhà toán, học cổ Hay Lạp Mênêlaut.
