CÁC SỐ HOÀN MĨ ÍT MÀ LÝ THÚ
Cho hai số tự nhiên a và b, nếu b chia hết cho a thì a là ước của b. Đương nhiên mọi số tự nhiên a > 1có hai ước là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố. Một số tự nhiên có thể có nhiều ước.
Ví dụ các số 6, 12, 14 có các ước như sau:
6: 1, 2, 3 1 + 2 + 3 = 6
12: 1, 2, 3, 4, 6 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12
14 =1, 2, 7 1 + 2 + 7 = 10 < 14
Các số mà bản thân nó bằng tổng các ước của nó (trừ chính nó) gọi là số hoàn toàn chẳng hạn số 6. Người cổ Hy Lạp rất coi trọng các số hoàn toàn. Vào khoảng năm 100 trước công nguyên, Nicômasu đã viết một quyển sách chuyện về số luận có tên là ''Thuật toán nhập môn''. Ông viết: ''Cứ cho rằng đúng cũng như đẹp, vật tuyệt hảo thì hiếm có, nên dễ dàng tính đếm được; còn vật xấu, vật hỏng thì nhiều vô kể, nên số thừa số thiếu là hết sức nhiều, hỗn loạn và không lề lối, việc phát hiện chúng không có hệ thống với số hoàn toàn thật dễ tính toán, dễ dàng có mạch lạc…Chúng có đặc tính: đuôi số là 6 hoặc 8 và luôn là số chẵn.
Ngày nay người ta tìm thấy rằng số hoàn toàn rất hiếm, cho đến nay người ta chỉ mới tìm thấy có 29 số và đều là số chẵn. Năm số hoàn toàn đầu tiên là: 6, 28, 496, 8128, 33550336.
Có hai vấn đề sau đây: Có các số hoàn toàn là hữu hạn hay vô hạn, có hay không các số lẻ hoàn toàn? Cho đến nay vẫn chưa có câu trả lời.
Các số hoàn toàn có nhiều tính chất lý thú:
1- Chúng có thể được biểu diễn thành tổng các số tự nhiên liên tục
6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 +2 + 4 + 7 + 14 .
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31+ 62 + 124
Tổng các nghịch đảo của các ước và nghịch đảo của sớ đó đều bằng 2.
