CÓ PHẢI MỘT BỘ PHẬN LẠI BẰNG TOÀN THỂ
Người ta cho nhiều quân cờ trắng và đen vào một hộp to, làm thế nào có thể biết quân cờ màu nào nhiều hơn? Có ba biện pháp:
Đếm số quân cờ mỗi màu rồi so sánh các quân số.
Mỗi lần đồng thời lấy ra hai quân cờ một trắng, một đen; cuối cùng còn lại quân cờ màu nào thì số quân cờ màu đó nhiều hơn.
Lấy liền một mạch các quân cờ, cuối cùng còn lại các quân cờ màu nào, thì quân cờ màu đó nhiều hơn. Còn nếu lấy hết không còn quân cờ nào dư thì cả hai loại quân cờ như nhau.
Thế nhưng nếu số quân cờ trong hộp lại quá nhiều, không thể dùng con số để đem và so sánh các quân cờ nhiều hay ít nhưng chí ít cũng có quân cờ màu nào đó nhiều vô cùng. Một trong những biện pháp sau đây có thể dùng để phát hiện điều đó: Nếu sau khi lấy hú họa các quân cờ trong hộp chỉ còn lại quân cờ cùng màu, thì quân chờ màu này là nhiều hơn. Nếu lấy được một quân đen, sau đó lấy tiếp được quân đen rồi đến quân trắng, rồi đến quân đen, chứng tỏ số quân đen nhiều hơn.
Cái toàn thể lớn hơn bộ phận đó là điều không có gì phải nghi ngờ. Nếu đem quả táo cắt thành ba mẩu, thì rõ ràng là cả quả táo phải lớn hơn từng mẩu, nhưng điều đó chỉ áp dụng được cho một số hữu hạn. Galilê, nhà khoa học lớn của thế kỷ XVII đã phát hiện với một số vô cùng lớn thì tình hình có thể khác hẳn.
Ví dụ có người đặt ra câu hỏi số chẵn và số nguyên loại số nào nhiều hơn? Có thể bạn cho rằng số nguyên nhiều hơn, không chỉ thế mà còn nhiều hơn gấp đôi. Như nếu ta đếm từ 1 - 100 thì có 100 số nguyên, còn chỉ có 50 số lẻ. Nhưng nếu với một số vô cùng lớn các số thì tình hình sẽ la sao? Người ta có thể dùng phương pháp một đối một để so sánh. Cách làm như sau:
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .
…6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8 . . .
Như vậy một số nguyên, ta luôn luôn có thể tìm thấy một số chẵn đối ứng và ngược lại với một số chẵn, ta luôn luôn có thể tìm thấy một số nguyên đối ứng, như vậy có sự đối ứng một - một giữa số nguyên và số chẵn, hay nói cách khác số nguyên và số chẵn nhiều như nhau.
Tại sao lại rút ra được kết luận như vậy. Đó là do chúng ta đang bàn về số nguyên và số chẵn là vô hạn, trong tình trạng vô hạn thì cái toàn thể bằng cái bộ phận. Xuất phát từ tư tưởng đó, vào nửa sau thế kỷ XIX, nhà toán học Đức Canto đã sáng lập lý thuyết tập hợp. Từ đó nổi lên một điều giữa bộ phận và toàn thể ta có thể thiết lập mối tương ứng một - một, đó chính là tính chất mà tập hợp có vô cùng nhiều yếu tố vốn có. Điều đó cũng nói lên rằng: Không thể tuỳ tiện áp dụng các định lý của một đối tượng hữu hạn và một đối tượng có vô hạn các yếu tố.
