NGHỊCH LÝ RUSSELL
Có một ngày kia, người thợ cắt tóc thôn Savier treo lên một tấm bảng với hàng chữ ''Tất cả nam giới trong thôn không tự cắt tóc cho mình mà đều do tớ cắt tóc cho họ, tớ cũng chỉ để những người như vậy cắt tóc cho mình''. Có người xem liền hỏi ông ta: “Thưa ông, thế ai sẽ cắt tóc cho ông?”. Người thợ cắt tóc đứng ngớ ra không thể trả lời được.
Tại sao vậy? Bởi vì nếu anh ta cắt lấy tóc của mình, thì anh ta thuộc người tự cắt lấy tóc mình và theo như mệnh đề hai thì anh ta lại không để người khác cắt tóc mình. Nhưng nếu anh ta để người khác cắt tóc cho mình, thì lại trái với mệnh đề một vì như vậy anh ta thuộc người không tự cắt tóc mình nhưng lại không do anh ta cắt tóc cho. Do đó bằng bất kỳ cách suy luận nào anh ta cũng tự mâu thuẫn.
Kiểu nghịch lý nổi tiếng này gọi là ''Nghịch lý Rutxen'' nghịch lý này là do nhà triết học Anh Rutxen đưa ra, ông đã tập hợp mọi suy luận về nghịch lý thuật lại qua một câu chuyện rất thông tục.
Năm 1874, nhà toán học Đức Canto đã sáng lập lý thuyết tập hợp, và lập tức lý thuyết đã thâm nhập vào mọi phân ngành của toán học, làm cơ sở cho nhiều ngành toán học. Đến cuối thế kỷ XIX, hầu như toàn hộ toán học được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Cũng vào thời gian đó, trong lý thuyết tập hợp đã liên tiếp xuất hiện nhiều mâu thuẫn. Đặc biệt đến năm 1902 Rutxen đưa ra câu chuyện về anh thợ cắt tóc phản ảnh nghịch lý hết sức đơn giản, chính xác và rất đời thường. Do đó cơ sở toán học đã bị lung lay, đó là nguy cơ toán học lần thứ ba.
Để khắc phục các nghịch lý, các nhà toán học đã phải tiến hành làm một số công tác nghiên cứu và đã thu được nhiều thành quả mới, đem 1ại những quan niệm cách mạng trong toán học.
