NGHỊCH LÝ TOÁN HỌC
Trong đời thường cũng như trong khoa học, chúng ta thường thấy: Nếu như một phán đoán nào đó chính xác thì cho dù phân tích, suy luận bằng cách nào đi nữa thì cũng không đi đến kết luận là nó đã sai lầm; tương tự như vậy một phán đoán sai lầm thì cho dù phân tích cách nào đi nữa cũng không thể đi đến kết luận là phán đoán chính xác.
Toán học được xây dựng trên cơ sở khoa học lý luận logic chặt chẽ tin cậy. Ví dụ hình học xuất phát từ các định đề cơ bản, qua các hệ thống lý luận chặt chẽ, khoa học sẽ đưa đến các định lý chính xác. Ví dụ trên mặt phẳng hai đường thẳng nếu không giao nhau thì sẽ song song. Các luận đoán này là hoàn toàn chính xác bởi vì trong mặt phẳng không thể có hai đường thẳng vừa không giao nhau lại vừa không song song. Không thể có 3 điểm trên đường thẳng lại xác định một mặt phẳng, chỉ có hai điểm hoặc dùng ba điểm bất kỳ mà xác định một mặt phẳng.
Thế nhưng từ hơn hai ngàn năm trước ở thời cổ Hy Lạp, người ta đã phát hiện mâu thuẫn sau đây: dùng phương pháp suy luận được công nhận chứng minh hai ''định lý'' nếu chấp nhận một trong hai định lý chính xác thì lại suy luận đi đến định lý kia là sai lầm. Thậm chí lại có loại mệnh đề sau: Nếu thừa nhận nó chính xác thì qua suy luận lại đi đến kết luận là mệnh đề là chính xác đến mức người ta không thể phán đoán cái nào chính xác, các nào sai lầm.
Tình huống này mới nghe có vẻ hoang đường nhưng thực tế lại là một tồn tại khách quan. Loại hiện tượng trong khoa học người ta gọi là ''nghịch lý''. “Nghịch” tức là trái ngược, là suy luận ngược đời hàm ý hỗn loạn. Hàng ngàn, hàng trăm năm nay các nhà khoa học đã phát hiện không ít nghịch lý.
Ngày nay, tuy các nhà khoa học chưa có thể giải thích một cách hợp lý các nghịch lý, nhưng chính trong quá trình cố gắng giải thích các nghịch lý toán học lại thu được nhiều phát hiện mới, đi đến xây dựng ngành khoa học mới, thúc đẩy khoa học tiến tới.
Nghịch lý chứng tỏ cho dù toán học là một khoa học chặt chẽ nhưng đó không phải là một tấm thép bằng phẳng; Trong các khái niệm, nguyên lý của toán học vẫn còn tồn tại nhiều mâu thuẫn. Sự tồn tại nghịch lý còn cảnh báo cho mọi người biết rằng trong việc học tập nghiên cứu toán học cần ghi nhớ đến câu danh ngôn của một nhà toán học cổ Hy Lạp: cần phải biết hoài nghi, chỉ có như vậy mới có thể phát hiện được cái mới.
