BÀI TOÁN 36 SĨ QUAN
Bài toán 36 sĩ quan là bài toán tổ hợp nổi tiếng do nhà toán học Thụy Sĩ Ơle đưa ra vào thế kỷ XVIII. Nội dung bài toán như sau: Có 36 sĩ quan thuộc 6 loại quân hàm, từ 6 đơn vị khác nhau. Hãy tìm cách xếp thành đội hình 6 hàng ngang, 6 hàng dọc thế nào cho trên mỗi hàng ngang, hàng dọc chỉ có các sĩ quan không cùng quân hàm và cùng đơn vị.
Bài toán khó này phải trải qua hơn 200 năm nỗ lực, đến giữa thế kỷ XX mới có lời giải trọn vẹn. Để dễ xem xét, trước hết ta chọn đội hình ba hàng ngang, ba hàng dọc của 9 sĩ quan. Dùng số 1, 2, 3 để biểu diễn quân hàm của các sĩ quan; I, II, III biểu diễn đơn vị của các sĩ quan, lời giải tương ứng cho từng câu hỏi sẽ là:
Các hình trên đây được gọi là bảng vuông la tinh cấp 3. Hai hình dưới đây là bảng vuông la tinh cấp 2 và cấp 4.
Theo hình A thì có 9 khả năng sắp xếp từ hai bảng vuông la tinh ban đầu, người ta gọi đó là bảng vuông latinh cấp 3. Thế thì bài toán 36 sĩ qua sẽ trở thành: Có tồn tại bảng vuông la tinh trực giao cấp 6 hay không? Nếu tồn tại bảng vuông latinh trực giao cấp 6 thì có thể xếp 36 sĩ quan theo đội hình hàng sáu mà các sĩ quan trên mỗi hàng ngang, hàng dọc phải không cùng đơn vị và quân hàm.
Từ bài toán 36 sĩ quan ta đi đến khái quát thành bài toán chung sau đây: Có tồn tại hay không bảng vuông latinh trực giao cấp n?
Với bài toán này, Ơle đưa ra dự đoán, nếu n là số lẻ thì không tồn tại bảng vuông latinh trực giao cấp 2n (kể cả số 6), nhưng không có chứng minh. Trải qua một thời kỳ dài nghiên cứu, đến những năm 50 của thế kỷ nha toán học Ấn Độ Bôsi và nhiều ngườí khác đã chứng minh trừ n=1 và n=3 thì bài toán có lời giải. Như thế ơle đã nhầm (trừ n=1 và n=3 tức 2n=2 và 2n=6). Bài toán 36 sĩ quan đã đưa các nhà toán học nghiên cứu các bảng vuông latinh trực giao, những nghiên cứu này có ứng dụng to lớn trong toán thống kê hiện đại.
