SỐ ẢO CÓ ẢO KHÔNG?
Trước tiên chúng ta hãy nói qua một chút về lai lịch của số ảo. Thế kỉ 16, đúng vào lúc, các nhà toán học Châu Âu đang tranh luận xem có nếu coi số làm là số hay không? Thì lại có một loại số mới bị cuốn vào vòng tranh cãi, đó là căn bậc hai của số âm.
Số âm có căn bậc hai hay không? Bạn đã bao giờ thấy căn bậc hai của một số âm chưa? Vậy thì sao có thể có một số có thể là căn bậc hai của số âm được? Nhưng cùng với sự phát triển của toán học, các nhà toán học phát hiện rằng căn số thực của một phương trình bậc ba nào đó không thể không, được biểu thị bảng căn bậc hai của số âm, vậy vấn đề có căn, không có căn của phương trình đại số đã có thể giải quyết được, và sẽ đạt được một kết quả rất tốt và hợp lòng người: ''Phương trình bậc n có căn bậc n''. Ngoài ra, đối với căn bắc hai của số âm, nếu như giải toán dựa theo cách giải số học, thị kết quả sẽ chính xác.
Năm 1545, nhà toán học ý Karldan lần đầu tiên đưa ra một kí hiệu chiết trung, ông gọi căn bậc hai của số âm là ''số hư cấu''. Tức là, có thể công nhận nó là số, nhưng là “số hư cấu”, không thể biểu thị độc tồn tại thực tế như số thực. Đến năm 1632, nhà toán học Pháp Đêcac đã đặt cho căn bậc hai của số âm một cái tên mà mọi người đều đồng ý: ''Số ảo''.
Năm 1768, nhà toán học Thụy Sỹ Ơle lại một lần nữa đưa ra giải thích về số ảo: ''Do số ảo không lớn hơn 0, cũng không nhỏ hơn 0, lại không bằng 0, nên nó không tồn tại trong những số thực tế, mà tồn tại trong tưởng tượng''. Điều này vừa đại diện cho thái độ và nhận thức của các nhà toán học thế kỉ 18 đối với căn bậc hai của số âm tức là số ảo, cũng phản ánh được hàm nghĩa của chữ ''ảo'' trong cái tên ''số ảo''.
Mặc dù trong ''số ảo'' có một chữ ảo, nhưng các nhà toán học không vì thế mà coi nhẹ việc nghiên cứu nó. Trong thế kỉ 18, 19 các nhà toán học đã phát hiện ra rất nhiều tính chất và ứng dụng của số ảo. Đặc biệt vào năm 1777, Ơle đã đưa ra khái niệm ''đơn vị số ảo'', ông coi là đơn vị của số ảo, kí hiệu là i, đó là vì chữ cái đầu tiên trong tên tiếng Anh của số ảo imaginary là i, cho nên kí hiệu i là đơn vị của số ảo, tương đương với đơn vị của số thực là 1. Thế là, bất kì số ảo nào cũng giống số thực, được viết thành bội số của đơn vị. Ví dụ:
Đến đây, các nhà toán học không những đối xử công bằng giữa số thực và số ảo, mà còn thống nhất chúng với nhau dưới cái tên số phức. Cũng chính là nói, số phức bao gồm số thực và số ảo, kí hiệu là a + bi, trong đó a, b là số thực, i là đơn vị của số ảo. Khi a=0, a + bi = bi, nó là một số ảo thuần; khi b = 0, a + bi = a, nó là số thực. Trong số phức, số ảo và số thực bổ sung cho nhau, không thể thiếu một trong hai được.
Cuối thế kỉ 18, nhà toán học Nauy Weihanr, nhà toán học Thuỵ Sĩ Arkan, và nhà toán học Đức Gaus đã lần lượt phát minh ra cách tương ứng từng đôi một giũa số phức và các điểm trên mặt phẳng. Trên mặt phẳng vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau, đường nằm ngang gọi là trục thực, đường nằm dọc gọi là trục ảo. Căn cứ vào độ dài mỗi đơn vị, đánh dấu các điểm trên hai trục, như vậy là đã dựng được một mặt phẳng toạ độ vuông góc. Một số phức a + bi bất kì đều tương ứng với một điểm trên mặt phẳng toạ độ vuông góc, nếu như từ điểm này vẽ hai đường vuông góc với hai trục, khoảng cách giữa chân đường vuông góc với góc tọa độ 0 trên trục thực là a đơn vị, trên trục ảo là b đơn vị. Vì thế, bất kì điểm nào trên mặt phẳng toạ độ vuông góc đều tương ứng với một số phức, điểm trên trục ảo tương ứng với số thực, điểm trên trục ảo tương ứng với số ảo, gốc tọa độ tương ứng với 0. Mặt phẳng tọa độ vuông góc này gọi là mặt phẳng số phức, gọi đơn giản là là mặt phẳng phức. Trên mặt phẳng phức, mọi người một lần nữa lại thấy được vị trí ngang bằng của số thực và số ảo và đương nhiên cũng thấy được sự tồn tại thực tế của chúng. Từ đó, vị trí của số ảo đã được xác lập và cái tên “số ảo”, cũng được duy trì.
