THẾ NÀO LÀ SỐ TỨ NGUYÊN?
Số phức a + bi có thể viết thành một cặp theo thứ tự (a,b), nó ứng với một điểm được vẽ ra trên mặt phẳng toạ độ vuông góc. Dưới sự gợi ý này, nhà toán học Ailen Hamilton đã thử cấu tạo một loại số mới, nó bao gồm 3 phần (a,b,c). Qua nhiều năm thử nghiệm, Hamilton phát hiện rằng không thể có một số mới chi có 3 phần như ông tìm kiếm, mà cần phải có 4 phần. Đó chính là số tứ nguyên.
Nói một cách đơn giản, số tứ nguyên là một loại số có dạng a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là thực, l, i, j , k là nguyên đơn vị, đồng thời i, j, k thoả mãn số ảo i2 = j2 = k2 = - 1, và khi nhân i, j , k với nhau phải thoả mãn quy tắc sau: ij = - ji = k, jk = -kj= i, ki = - ik –j, phép cộng và phép nhân của số tứ nguyên cũng có định nghĩa hệ thống.
Số phức a + bi khi b=0 thì là số thực a, cũng chính là số thực có thể coi như một loại số phức đặc biệt; cũng như vậy, số tứ nguyên a + bi + cj + dk khi c= d = 0 thì là số phức a + bi, thế là số phức cũng có thể nhập vào trong những số tứ nguyên. Từ số thực, số phức đến số tứ nguyên, hệ thống số đã được mở rộng. Như vậy, tính chất giải toán của số thực, số phức trong số tứ nguyên có thay đổi hay không?
Trên thực tế từ định nghĩa của số tứ nguyên có thể thấy nguyên đơn vị i,j,k nhân với nhau không thoả mãn luật giao hoán phép nhân, tức là ij
, jk 
kj, kiik, vì thế phép nhân số tứ nguyên cũng không thoả mãn luật giao hoán.
Đây là sự khác biệt bản chất giữa số tứ nguyên và số trong quá khứ.
Sự sáng lập số tứ nguyên đã mở rộng phát triển khái niệm của toán, làm sâu sắc thêm những nhận thức về phép tắc giải toán, có ảnh hưởng nhất định đối với đại số vectơ và lĩnh vực phân tách vectơ. Nó khiến các nhà toán học ý thức được rằng có thể sáng tạo ra những số mới có ý nghĩa đế làm đối tượng nghiên cứu của toán học, loại số mới này không nhất định phải có đầy đủ các tinh chất của số thông thường.
