Nội dung

VÌ SAO SỐ LẠI CÓ PHẦN “CÓ LÍ” VÀ ''VÔ LÍ''?

Bình thường, mọi người nói chuyện làm việc, có thể phân biệt cái gì vô lí, có lí, con số sao lại cũng có thể có phần vô lí và có lí vậy? Nói ra thì còn có cả một câu chuyện rất thú vị đấy.

Thế kỉ thứ 6 trước công nguyên, Hy Lạp cổ đại có một nhà toán học tên là Pitago, ông cho rằng, tất cả mọi thứ trên thế giới đều có tính chất của số nguyên hoặc phân số. Ví dụ, chiều dài tất cả các đoạn thẳng, đều có thể dùng số nguyên hoặc phân số để biểu thị trong tình huống dùng lực bằng nhau, khi tỷ lệ độ dài của dây đàn là tỷ số 2:3, 3:4, các dây đàn hoà âm. Tóm lại, quan điểm của Pitago là ''vạn vật trong vũ trụ đều là số nguyên''.

Vậy mà, sự thực lại không phải như vậy. Một hôm, có một học sinh hỏi Pitago, đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh hình vuông bằng 1, có thể biểu thị độ dài đường chéo bằng số nguyên hoặc phân số không?

Muốn trả lời chính xác câu hỏi này thì phải chứng minh. Thế là Pitago đã chứng minh như sau:

Như trên hình vẽ, giả thiết độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 có thể viết thành số nguyên hoặc phân số, vậy có thể viết tỉ số đó thành , và giữa p và q không có ước số chung (khi q = 1, thì  là số nguyên).

Căn cứ vào định lí tam giác vuông (Pitago sớm đã phát hiện ra định lý này), có:

()² =1² + 1² = 2  

Tức là : p² = 2q²

2q² là số chẵn, tức là p² là số chẵn cho nên p là số chẵn [p không thể là số lẻ vì bình phương của bất kỳ số lẻ (2n + 1) cũng là số lẻ:

(2n + 1)² = 4n² + 4n + l

Ta lại có: p và q không có ước số chung nên q là số lẻ

p là số chẵn, thì có thể viết thành p = 2a; nên p² = 4a² = 2q² .

tức là q² = 2a².

Điều đó chứng tỏ q² là số chẵn, nên q cũng phải là số chẵn; nhưng q đồng thời lại là số lẻ, vậy là đã có sự mâu thuẫn. Vì thế, độ dài của đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 không thể biểu thị bằng số nguyên hay phân số.  Kết quả này khiến Pitago rơi vào cảnh khó khăn, cũng thúc đẩy nhận thức của con người với toán học tiến thêm một bước.

Không thể biểu thị bằng số nguyên hay phân số, không có nghĩa là không tồn tại độ dài của đường chéo này. Trên thực tế, dùng định lí tam giác vuông thì có thể dễ dàng tính được độ dài là ''căn bậc 2 của 2'' tức là .

Như vậy, ngoài số nguyên và phân số, lại phát hiện thêm một loại số mới mà khi đó chưa biết. Do người Hy Lạp cổ gọi phân số là ''ratio-nal number'', tức là, số có thể phân thành tỉ số'', vì vậy, những số không thể viết thành số nguyên hoặc phân số như  thì được gọi là ''irrational number'', tức là ''số không thể phân thành tỉ số''. Nhưng từ ''rational''có nghĩa là ''có lí'', “hợp lí” mà ''irrational'' thì có nghĩa “vô lí”, “không hợp lý”, nên mọi người khi dịch 2 từ này thì đều dịch thành ''số có lí'', và ''số vô lí'' .