THANG TRƯỢT HÌNH CUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN.
Có hai cầu trượt khác nhau. Một đường trượt được làm theo dạng đường cong, đường kia làm theo một đường xiên. Hai cậu thiếu niên A và B từ điểm O trượt xuống chân cầu C. Câu hỏi đặt ra là nếu A và B đồng thời trượt từ điểm O thì ai sẽ trượt đến chân cầu nhanh hơn, nếu A trượt theo đường xiên còn B trượt theo đường cong?
Nhiều người cho rằng vì A trượt theo đường xiên là đường thẳng ngắn nhất nối hai điểm O và C nên A sẽ xuống đến chân cầu trước. Cách phân tích này không tránh được sai lầm phiến diện, bởi vì việc ai đến chân cầu trước không chỉ phụ thuộc đoạn đường dài ngắn mà còn phụ thuộc tốc độ trượt. A bắt đầu trượt tại đỉnh O của cầu trượt với vận tốc bằng không, càng trượt xuống phía dưới theo đường xiên OC thì vận tốc trượt tăng dần. B cũng bắt đầu trượt từ đỉnh O xuống phía dưới với vận tốc ban đầu theo đường cong lõm nên vận tốc trượt tăng nhanh hơn A. Sau khi trượt một đoạn thì dẫu B có trượt theo đoạn đường dài hơn A nhưng vận tốc trượt lại tăng nhanh nên ai đến chân cầu C trước còn là vấn đề khó nói. Nếu đường trượt được chế tạo khéo léo, tốc độ trượt sẽ tăng nhanh hơn so với sự tăng khoảng cách đo độ võng của đường trượt thì B sẽ đến chân cầu trước. Các nhà khoa học đã chứng minh nếu đường trượt được chế tạo dưới dạng đường xiclôit thì cầu trượt sẽ cho tốc độ nhanh nhất.
Một cậu bé cho lăn một vòng sắt trên mặt đường. Khi vòng sắt lăn, vô tình có mảnh giấy gói kẹo dính vào vòng sắt. Khi vòng sắt tiếp tục lăn trên đường, mảnh giấy gói kẹo bám trên vòng sắt sẽ vẽ trên không gian một đường cong; đường cong đó chính là xiclôit .
Việc đi tìm “đường lăn xuống có tóc độ nhanh nhất” do nhà toán học Thụy Sĩ Becnuli đưa ra đầu tiên. Vào thời đó ở châu Âu thịnh hành một phong cách thi đua: một người hoặc nhóm người đặt ra bài toán khó, tất cả sẽ tìm cách giải để xem ai giải nhanh, giải đẹp. Khi Becnuli đưa ra bài toán tìm con đường lăn nhanh, nhiều nhà toán học nổi tiếng đường thời đã nỗ lực tìm kiếm và tìm thấy đường trượt làm theo đường xiclôit sẽ cho tốc độ trượt nhanh nhất so với các loại đường cong khác. Việc giải quyết bài toán này đã mở đầu cho một ngành toán học mới, có nhiều ứng dụng, đó là phép tính biến phân.
